[CQOI2014]数三角形

Posted 2021-01-31 asuldb

lx让做的题，其实很简单，难度评到紫令人吃惊

首先读进来(n,m)先(++)，之后就是一个格点数为(n*m)的矩阵了

我们直接求很那做，补集转化一下，我们容斥来做

首先所有的情况自然是(C_{n*m}^3)了

再算出不合法的情况

之后有(m)列，三个点在同一列上的方案数自然是(m*C_n^3)

有(n)行，三个点在同一行的方案数是(n*C_m^3)

最后还有斜线上的情况，由于一条方向向量为((x,y))的直线，当两个端点在整点上的时候，直线上还有(gcd(x,y)-1)个整点，而这样的的直线一共有((n-x)(m-y))条，这样只考虑了斜率为正的情况，自然还有斜率为负的情况，显然两种情况数量相等，最后还要再乘以二

所以斜线上三点共线的方案数为

[2*sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m(gcd(i,j)-1)*(n-i)*(m-j)]

那么最后的答案就是

[C_{n*m}^3-m*C_n^3-n*C_m^3-2*sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m(gcd(i,j)-1)*(n-i)*(m-j)]

显然这都是可以随便求得，如果(n,m)再大一些后面就需要反演啦

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define LL long long
#define re register
LL n,m,ans;
inline LL C(LL n,LL m)
{
    LL T=1;
    for(re int i=n;i>=n-m+1;i--) T*=(LL)(i);
    for(re int i=1;i<=m;i++) T/=(LL)(i);
    return T;
}
inline LL read()
{
    char c=getchar();
    LL x=0;
    while(c<‘0‘||c>‘9‘) c=getchar();
    while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘)
      x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();
    return x;
}
LL gcd(LL a,LL b)
{
    if(!b) return a;
    return gcd(b,a%b);
}
int main()
{
    n=read()+1,m=read()+1;
    ans=C(n*m,3);
    ans-=C(n,3)*m+C(m,3)*n;
    for(re int i=1;i<=n;i++)
    for(re int j=1;j<=m;j++)
        ans-=2ll*(gcd(i,j)-1)*(n-i)*(m-j);
    std::cout<<ans;
    return 0;
}