BZOJ 3505 [Cqoi2014]数三角形

Posted 2020-09-26 Doggu

3505: [Cqoi2014]数三角形

Description

给定一个nxm的网格，请计算三点都在格点上的三角形共有多少个。下图为4x4的网格上的一个三角形。注意三角形的三点不能共线。

Input

输入一行，包含两个空格分隔的正整数m和n。

Output

输出一个正整数，为所求三角形数量。

Sample Input

2 2

Sample Output

76

HINT

数据范围
1<=m,n<=1000

---

 

　　这肯定是很典型的排列组合水题。先n++，m++，再C（n*m，3），最后减去三点共线的特例。

　　横的，竖的，很好算，C（n，3）*m+C（m，3）。但是斜的，需要想一想。

　　在(a,b) (x,y)两点构成的线段上有gcd(a-x,b-y)-1个整点(a>x,b>y)，这显然成立。斜的即有两点，△x与△y均大于0，在他们之间有gcd(△x,△y)-1个整点，而这种情况有2*（n-△x）*（m-△y）种。以O（n^2）的效率减去就是了。

 1 /**************************************************************
 2     Problem: 3505
 3     User: Doggu
 4     Language: C++
 5     Result: Accepted
 6     Time:660 ms
 7     Memory:820 kb
 8 ****************************************************************/
 9  
10 #include <cstdio>
11 #include <algorithm>
12 long long n, m, x, ans;
13 inline long long gcd(long long a,long long b) {return b==0?a:gcd(b,a%b);}
14 inline long long C(long long p) {return p*(p-1)*(p-2)/6;}
15 int main() {
16     scanf("%lld%lld",&n,&m);n++;m++;x=std::min(n,m);
17     ans=C(n*m)-C(n)*m-C(m)*n;
18     for( int i = 1; i < n; i++ ) for( int j = 1; j < m; j++ ) ans-=(gcd(i,j)-1)*2*(n-i)*(m-j);
19     printf("%lld\n",ans);
20     return 0;
21 }
22 

math（820kb 660ms）

　　但是，居然发现，若把gcd记忆化，效率将大大提高。

 

 1 /**************************************************************
 2     Problem: 3505
 3     User: Doggu
 4     Language: C++
 5     Result: Accepted
 6     Time:292 ms
 7     Memory:8792 kb
 8 ****************************************************************/
 9  
10 #include <cstdio>
11 #include <algorithm>
12 long long n, m, x, ans, g[1010][1010];
13 inline long long gcd(long long a,long long b) {if(g[a][b]) return g[a][b];return g[a][b]=b==0?a:gcd(b,a%b);}
14 inline long long C(long long p) {return p*(p-1)*(p-2)/6;}
15 int main() {
16     scanf("%lld%lld",&n,&m);n++;m++;x=std::min(n,m);
17     ans=C(n*m)-C(n)*m-C(m)*n;
18     for( int i = 1; i < n; i++ ) for( int j = 1; j < m; j++ ) ans-=(gcd(i,j)-1)*2*(n-i)*(m-j);
19     printf("%lld\n",ans);
20     return 0;
21 }
22 

math++（8792kb 292ms）