[AHOI2008]逆序对

Posted 2021-01-31 asuldb

被锤爆了

被这个题搞得自闭了一上午，觉得自己没什么前途了

我又没有看出来这个题的一个非常重要的性质

我们填进去的数一定是单调不降的

首先如果填进去的数并不是单调不降的，那么填进去本身就会产生一些逆序对，感性理解好像是单调不降更优，这里还是严谨证明一下吧

考虑一下树状数组求逆序对的过程，显然就是求出每一个数前面有多少个比它大的数

这张图好丑啊

设(A<B)，(x)表示那段绿色区间里大于(A)的数，(y)表示绿色区间里大于(B)的数，(a)表示蓝色区间里大于(A)的数，(b)表示蓝色区间里大于(B)的数

这个时候我们如果用树状数组来统计一下答案的话，(A,B)的贡献就是(x+y+b)

如果交换一下(A)和(B)的位置，那么这个时候答案就会变成(x+a+y+1)

非常显然的是(b<=a)，所以可以得出(x+y+b<x+a+y+1)，所以不交换更优

之后有了这个性质，我们就可以做一个(dp)了，设(dp[i][j])表示填到了(i)位置，最靠后的一个(-1)位置填了(j)这个时候的最小逆序对是多少

就可以一边树状数组一边(dp)了

复杂度(O(nklogk))

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define LL long long
#define lowbit(x) ((x)&(-x))
#define re register
#define maxn 100005
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
inline int read()
{
    char c=getchar();
    int x=0,r=1;
    while(c<‘0‘||c>‘9‘) 
    {
        if(c==‘-‘) r=-1;
        c=getchar();
    }
    while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘)
        x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();
    return x*r;
}
LL c[105];
int n,m;
LL ans;
LL dp[maxn][101];
LL mx[101];
int pre[maxn];
int a[maxn];
int beh[maxn][101];
inline void add(int x)
{
    for(re int i=x;i<=m;i+=lowbit(i)) c[i]++;
}
inline LL ask(int x)
{
    LL now=0;
    for(re int i=x;i;i-=lowbit(i)) now+=c[i];
    return now;
}
int main()
{
    int cnt=0;
    n=read(),m=read();
    for(re int i=1;i<=n;i++) 
    {
        a[i]=read();
        if(a[i]==-1&&!cnt) cnt=i;
        pre[i]=pre[i-1]+(a[i]==-1);
    }
    if(!cnt) cnt=n+1;
    for(re int i=1;i<cnt;i++)
    {
        ans+=ask(m)-ask(a[i]);
        add(a[i]);
    }
    if(cnt==n+1)
    {
        std::cout<<ans;
        return 0;
    }
    for(re int i=n;i;i--)
    {
        for(re int j=1;j<=m;j++)
            beh[i][j]=beh[i+1][j];
        if(a[i]==-1) continue;
        for(re int j=a[i];j<=m;j++) beh[i][j]++;
    }
    memset(dp,20,sizeof(dp));
    for(re int i=1;i<=m;i++)
        dp[cnt][i]=ans+ask(m)-ask(i)+beh[cnt][i-1];
    memset(mx,20,sizeof(mx));
    for(re int j=1;j<=m;j++)
        mx[j]=min(mx[j-1],dp[cnt][j]);
    for(re int i=cnt+1;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]!=-1)
        {
            LL now=ask(m)-ask(a[i]);
            for(re int j=1;j<=m;j++)
                dp[i][j]=now+dp[i-1][j];
            add(a[i]);
        }
        else
        {
            for(re int j=1;j<=m;j++)
            {
                LL now=ask(m)-ask(j);
                dp[i][j]=mx[j]+now+beh[i][j-1];
            }
        }
        memset(mx,20,sizeof(mx));
        for(re int j=1;j<=m;j++)
            mx[j]=min(mx[j-1],dp[i][j]);
    }
    LL Ans=0x7ffffffff;
    for(re int i=1;i<=m;i++)
        Ans=min(Ans,dp[n][i]);
    std::cout<<Ans;
    return 0;
}