[AHOI2008]逆序对（dp）

Posted 2020-10-09 Kaiser

小可可和小卡卡想到Y岛上旅游，但是他们不知道Y岛有多远。好在，他们找到一本古老的书，上面是这样说的： 下面是N个正整数，每个都在1~K之间。如果有两个数A和B，A在B左边且A大于B，我们就称这两个数为一个“逆序对”。你数一数下面的数字里有多少个逆序对，你就知道Y岛离这里的距离是多少千米了。 比如说，4 2 1 3 3里面包含了5个逆序对：(4, 2), (4, 1), (4, 3), (4, 3), (2, 1)。 可惜的是，由于年代久远，这些数字里有一部分已经模糊不清了，为了方便记录，小可可用“-1”表示它们。比如说，4 2 -1 -1 3 可能原来是4 2 1 3 3，也可能是4 2 4 4 3，也可能是别的样子。 小可可希望知道，根据他们看清楚的这部分数字，能不能推断出这些数字里最少能有多少个逆序对。

Input

第一行两个正整数N和K。第二行N个整数，每个都是-1或是一个在1~K之间的数。

Output

一个正整数，即这些数字里最少的逆序对个数。

Sample Input

5 4
4 2 -1 -1 3

Sample Output

4

HINT

4 2 4 4 3中有4个逆序对。当然，也存在其它方案得到4个逆序对。

数据范围：
100%的数据中，N<=10000，K<=100。
60%的数据中，N<=100。
40%的数据中，-1出现不超过两次。

 

因为k十分小，所以dp[i][j]表示前i个，第i个为j的最优解。

对于两个空位a和b，分别填入数x和y，且x<y。

如果我们交换x和y，会有如下性质:

1.[1,a-1]和[b+1,n]中的数与x y构成的逆序对数不变。

2.[a+1,b-1]中大于x或小于y的数与x y构成的逆序对数不变。

3.[a+1,b-1]中在(x,y)范围内的数与x y构成逆序对。

4.x y构成逆序对。

也就是说我们如果交换x y，逆序对数会增加。

所以填入的这些数一定是单调不减的。

有了这个性质我们就可以DP了。

用f[i][j]表示第i个空位填j所形成的最小逆序对，g[i][j]表示f[i][1]-f[i][j]的最小值，cost[i][j]表示在第i个空位填j所形成的新的逆序对。显然cost[i][j]是可以预处理的。

则f[i][j]=g[i-1][j]+cost[i][j]。

注意最终答案还要加上不是空位的数形成的逆序对数。

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cmath>
 4 #include<cstring>
 5 #include<algorithm>
 6 #define N 10007
 7 #define K 107
 8 #define inf 1000000007
 9 using namespace std;
10 
11 int n,k,cnt,ans=inf;
12 int a[N],b[N],f[N][K],g[N][K],s[N][K],t[N][K];
13 
14 int main()
15 {
16     scanf("%d%d",&n,&k);
17     for (int i=1;i<=n;i++)
18     {
19         scanf("%d",&a[i]);
20         if (a[i]==-1) b[++cnt]=i;//用来记录-1点的标号。 
21     }
22     for (int i=1;i<=n;i++)
23         for (int j=1;j<=k;j++)
24             s[i][j]=s[i-1][j]+(a[i]>j);//预处理前缀和。 
25     for (int i=n;i>=1;i--)
26         for (int j=1;j<=k;j++)
27             t[i][j]=t[i+1][j]+(a[i]!=-1&&a[i]<j);
28     for (int i=1;i<=cnt;i++)
29     {
30         f[i][1]=f[i-1][1]+s[b[i]][1]+t[b[i]][1];//自己是上升的， 
31         g[i][1]=f[i][1];
32         for (int j=2;j<=k;j++)
33         {
34             f[i][j]=g[i-1][j]+s[b[i]][j]+t[b[i]][j];
35             g[i][j]=min(g[i][j-1],f[i][j]);//维护上升。 
36         }
37     }
38     for (int i=1;i<=k;i++)
39         ans=min(ans,f[cnt][i]);
40     for (int i=1;i<=n;i++)
41         if (a[i]!=-1) ans+=s[i][a[i]];
42     printf("%d\n",ans);
43 }