动态规划 BZOJ1831 [AHOI2008]逆序对

Posted 2020-09-24

1831: [AHOI2008]逆序对

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Description

小可可和小卡卡想到Y岛上旅游，但是他们不知道Y岛有多远。好在，他们找到一本古老的书，上面是这样说的： 下面是N个正整数，每个都在1~K之间。如果有两个数A和B，A在B左边且A大于B，我们就称这两个数为一个“逆序对”。你数一数下面的数字里有多少个逆序对，你就知道Y岛离这里的距离是多少千米了。 比如说，4 2 1 3 3里面包含了5个逆序对：(4, 2), (4, 1), (4, 3), (4, 3), (2, 1)。 可惜的是，由于年代久远，这些数字里有一部分已经模糊不清了，为了方便记录，小可可用“-1”表示它们。比如说，4 2 -1 -1 3 可能原来是4 2 1 3 3，也可能是4 2 4 4 3，也可能是别的样子。 小可可希望知道，根据他们看清楚的这部分数字，能不能推断出这些数字里最少能有多少个逆序对。

Input

第一行两个正整数N和K。第二行N个整数，每个都是-1或是一个在1~K之间的数。

Output

一个正整数，即这些数字里最少的逆序对个数。

Sample Input

5 4
4 2 -1 -1 3

Sample Output

4

HINT

4 2 4 4 3中有4个逆序对。当然，也存在其它方案得到4个逆序对。

数据范围：
100%的数据中，N<=10000，K<=100。
60%的数据中，N<=100。
40%的数据中，-1出现不超过两次。

Source

Day1

 

可以通过反证法证明在空位插入的数单调不减时逆序对数最优

h[i][j]和t[i][j]表示第i个位置填入数字j所形成的新逆序对

f[i][j]表示第i个位置填入数字j形成逆序对的最小数目

g[i][j]表示f[i][1]~f[i][j]的最小值

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 using namespace std;
 6 int n,k,cnt,ans;
 7 int data[10010],pos[10010],h[10010][110],t[10010][110],f[10010][110],g[10010][110];
 8 int main(){
 9     scanf("%d%d",&n,&k);
10     for(int i=1;i<=n;i++){
11         scanf("%d",&data[i]);
12         if(data[i]==-1) pos[++cnt]=i;
13     }
14     for(int i=1;i<=n;i++)
15         for(int j=1;j<=k;j++) h[i][j]=h[i-1][j]+(data[i]>j);
16     for(int i=n;i>=1;i--)
17         for(int j=1;j<=k;j++) t[i][j]=t[i+1][j]+(data[i]!=-1&&data[i]<j);
18     for(int i=1;i<=cnt;i++){
19         f[i][1]=f[i-1][1]+h[pos[i]][1]+t[pos[i]][1];
20         g[i][1]=f[i][1];
21         for(int j=2;j<=k;j++){
22             f[i][j]=g[i-1][j]+h[pos[i]][j]+t[pos[i]][j];
23             g[i][j]=min(g[i][j-1],f[i][j]);
24         }
25     }
26     ans=0x3f3f3f3f;
27     for(int i=1;i<=k;i++) ans=min(ans,f[cnt][i]);
28     for(int i=1;i<=n;i++)
29         if(data[i]!=-1) ans+=h[i][data[i]];
30     printf("%d\n",ans); 
31     return 0;
32 }