Luogu[P4139] 上帝与集合的正确用法（扩展欧拉定理）

Posted 2021-01-29 taoyc

一句话题面

求 $ 2^{2^{2^{...}}}  $ (mod) $p $

题解

首先我们要知道什么是扩展欧拉定理：

如果(b ≥ varphi(p))

(a^b equiv a^{b mod varphi(p) + varphi(p)} (mod p))

可以发现，在这道题中(a=2),(b=2^{2^{2^{...}}})

然后我们发现$ 2^{2^{2^{...}}} $ 这玩意是 $ ≥ varphi(p) $ 的

然后我们知道(varphi(1) = 1)

这就很好办了，我们线性筛出(varphi(i))，递归快速幂求(a^{b mod varphi(p) + varphi(p)} (mod p))

于是这道题就可以愉快的AC了。

代码展示

#include<bits/stdc++.h>
#define Maxl 10000007
#define Maxn 100005
using namespace std;
int tot,prime[Maxl],check[Maxl],phi[Maxl],m;
int PowerMod(long long a, int n, int mod,int c = 1) {for (; n; n >>= 1, a = a * a % mod) if (n & 1) c = c * a % mod; return c;}//快速幂
int dfs(int x)
{
    if (x == 1) return 0;
    return PowerMod(2,dfs(phi[x]) + phi[x],x);//递归
}
signed main(){
    for (int i = 2; i <= Maxl; i++)
    {
        if (!check[i])
        {
          prime[tot++] = i;
          phi[i] = i - 1;
        }
        for (int j = 0; j < tot; j++)
        {
            if (i * prime[j] > Maxl)
              break;
            check[i * prime[j]] = 1;
            if (i % prime[j] == 0)
            {
              phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
              break; 
            } else
            phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);  //积性函数的定义
        }
    }//线性筛
    scanf("%d",&m);
    while (m--)
    {
        int p;
        scanf("%d",&p);
        printf("%d
",dfs(p));
    }
}