[luogu4139]上帝与集合的正确用法欧拉定理+扩展欧拉定理

Posted 2021-11-25 chhokmah

题目大意

让你求\(2^{2^{2^{\cdots}}}(mod)P\)的值。

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前置知识

知识1：无限次幂怎么解决

让我们先来看一道全国数学竞赛的一道水题：
让你求解：\(x^{x^{x^{\cdots}}}=2\)方程的解。
对于上面的无限次幂，我们可以把这个式子移上去，得到了\(x^{2}=2\)。
因为指数的原因，所以我们可以直接得到了\(x=\sqrt{2}\)。
以上的问题，启示我们对于这一些无限次幂可以转移来解决。
以上的东西可能用不到

知识2：欧拉定理和扩展欧拉定理

详细请出门左拐洛谷模板区【传送门】。（从入门到入土）
因为这一道题目\(p\)为任意整数，那么无法使用欧拉定理，那么就用比欧拉定理稍微复杂一点点的扩展欧拉定理。
简单介绍一下扩欧定理：
\[a^b\equiv a^{(b\mod\varphi(m))+\varphi(m)}\mod m\]
条件是\(b>= \varphi(m)\)
给一份蒟蒻的线性筛欧拉函数的代码

inline void Get_Phi(int MAXN) {
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= MAXN; i ++) {
        if (!vis[i]) prime[++ Prime_tot] = i, phi[i] = i - 1;
        for (int j = 1; j <= Prime_tot && i * prime[j] <= MAXN ; j ++) {
            vis[i * prime[j]] = 1;
            if (i % prime[j] == 0) { phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j]; break; }
            else phi[i * prime[j]] = phi[i] * phi[prime[j]];
        }
    }
}

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正解

既然我们知道了欧拉公式，那么我们就可以代到原来的幂次中，得到以下的推导：
\[2^{2^{2^{\cdots}}} \ mod \ p = 2^{2^{2^{\cdots}} mod \ \varphi(p) + \varphi(p)}\ mod \ p\]
很明显的是\(\varphi(1)=0\)，那么这个就是我们递归的边界。
剩下来的幂次我们可以用快速幂实现。
欧拉函数的筛法就用线性筛就可以了，好像这一道题目就只用单个的筛好像可以更快。
时间复杂度：\(O(T+T\times log_2^p)\)

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代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ms(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define inf 0x3f3f3f3f
#define db double
#define N 10000500
using namespace std;
template <typename T>
inline void read(T &x) {
    x = 0; T fl = 1; char ch = 0;
    for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar())
        if (ch == '-') fl = -1;
    for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar())
        x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);
    x *= fl;
}
template <typename T>
inline T Power(T x, T y, T Mod) {
    T res = 1;
    for (; y; y >>= 1) {if (y & 1) res = (res * x) % Mod; x = (x * x) % Mod;} 
    return res % Mod;
}
ll a, b, c;
ll Prime_tot = 0;
int phi[N], prime[N];
bool vis[N];
inline void Get_Phi(int MAXN) {
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= MAXN; i ++) {
        if (!vis[i]) prime[++ Prime_tot] = i, phi[i] = i - 1;
        for (int j = 1; j <= Prime_tot && i * prime[j] <= MAXN ; j ++) {
            vis[i * prime[j]] = 1;
            if (i % prime[j] == 0) { phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j]; break; }
            else phi[i * prime[j]] = phi[i] * phi[prime[j]];
        }
    }
}
ll f(ll x) {
    if (x == 1) return 0;
    else return Power(2ll, f(phi[x]) + phi[x], x);
}
int main() {
    int cas; read(cas);
    Get_Phi(1e7+1);
    while (cas --) {
        ll n; read(n); 
        printf("%lld\n", f(n));
    }
    return 0;
}