洛谷 P4139 上帝与集合的正确用法

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了洛谷 P4139 上帝与集合的正确用法相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

题目描述

根据一些书上的记载,上帝的一次失败的创世经历是这样的:

第一天, 上帝创造了一个世界的基本元素,称做“元”。

第二天, 上帝创造了一个新的元素,称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现,一共有两种不同的“α”。

第三天, 上帝又创造了一个新的元素,称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现,一共有四种不同的“β”。

第四天, 上帝创造了新的元素“γ”,“γ”被定义为“β”的集合。显然,一共会有16种不同的“γ”。

如果按照这样下去,上帝创造的第四种元素将会有65536种,第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。

然而,上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来,因此,日复一日,年复一年,他重复地创造着新的元素……

然而不久,当上帝创造出最后一种元素“θ”时,他发现这世界的元素实在是太多了,以致于世界的容量不足,无法承受。因此在这一天,上帝毁灭了世界。

至今,上帝仍记得那次失败的创世经历,现在他想问问你,他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种?

上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来,因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。

你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了10^9次元素,或10^18次,或者干脆∞次。

一句话题意:

求$2^2^2^2^{...} mod p$

输入输出格式

输入格式:

 

第一行一个整数T,表示数据个数。

接下来T行,每行一个正整数p,代表你需要取模的值

 

输出格式:

 

T行,每行一个正整数,为答案对p取模后的值

 

输入输出样例

输入样例#1: 
3
2
3
6
输出样例#1: 
0
1
4

说明

对于100%的数据,T<=1000,p<=10^7

 

Solution:

本题罗嗦了很多,实际上就是求222∞ mod p的值。

我们直接想到使用扩展欧拉定理去降次:

, 其中 phi()为欧拉函数。

关于欧拉定理的一些知识见  关于扩展欧拉定理的证明

那么本题我们直接递归调用该公式,phi(p)必定会一直变小,最后就是再套上快速幂的模板就行了。

代码:

 

#include <bits/stdc++.h>  
#define il inline
#define ll long long
using  namespace  std;
il int gi()
{
    int a=0;char x=getchar();bool f=0;
    while((x<\'0\'||x>\'9\')&&x!=\'-\')x=getchar();
    if(x==\'-\')x=getchar(),f=1;
    while(x>=\'0\'&&x<=\'9\')a=a*10+x-48,x=getchar();
    return f?-a:a;
}
il ll pow_mod(ll x, ll n, ll mod)
{  
    ll res=1;  
    while(n>0){  
        if(n&1)res=res*x%mod;  
            x=x*x%mod;  
            n>>=1;  
        }  
     return res;  
}  
il int euler_phi(int n)  
{  
     int m=(int)sqrt(n+0.5);
     int ret=n; 
     for(int i=2;i<=m;++i)if(!(n%i))
        {  
            ret=ret/i*(i-1);
        while(!(n%i))n/=i;  
        }  
      if(n>1)ret=ret/n*(n-1); 
      return ret;  
}      
il ll f(int x)
{  
      if(x==1)return 0;  
      int phi=euler_phi(x);  
      return pow_mod(2, f(phi)+phi, x);  
}  
int  main()
{  
    int T,p;  
      scanf("%d",&T);  
    while(T--){scanf("%d",&p);  printf("%lld\\n",f(p));}  
    return 0;  
}

 

以上是关于洛谷 P4139 上帝与集合的正确用法的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

题解 P4139 上帝与集合的正确用法

Luogu[P4139] 上帝与集合的正确用法(扩展欧拉定理)

bzoj3884: 上帝与集合的正确用法(数论)

[数学][广义欧拉定理]上帝与集合的正确用法

BZOJ3884: 上帝与集合的正确用法

bzoj3884 上帝与集合的正确用法