Luogu4139 上帝与集合的正确用法 拓展欧拉定理

Posted 2021-01-15 itst

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题意：求$2^{2^{2^{2^{...}}}} mod p$的值。$p leq 10^7$

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最开始想到的是$x equiv x^2 mod p$，然后发现不会做。。。

我们可以想到拓展欧拉定理：$a^b equiv a^{b mod varphi (p) + varphi (p)} mod p$，而当$b < p$时有更强的结论$a^b equiv a^{b mod varphi (p)} mod p$。我们发现利用拓展欧拉定理可以递归下去处理$2^{2^{2^{2^{...}}}} mod varphi (p)$的问题，直到$varphi (p)$为$1$时得到答案$0$。

 

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 inline int read(){
 5     int a = 0;
 6     bool f = 0;
 7     char c = getchar();
 8     while(!isdigit(c)){
 9         if(c == ‘-‘)
10             f = 1;
11         c = getchar();
12     }
13     while(isdigit(c)){
14         a = (a << 3) + (a << 1) + (c ^ ‘0‘);
15         c = getchar();
16     }
17     return f ? -a : a;
18 }
19 
20 int prime[2010] , cntPrime;
21 bool isprime[5010];
22 
23 inline int ola(int x){
24     int sum = x;
25     for(int i = 1 ; i * i <= x && i <= cntPrime ; i++)
26         if(x % prime[i] == 0){
27             while(x % prime[i] == 0)
28                 x /= prime[i];
29             sum = sum / prime[i] * (prime[i] - 1);
30         }
31     if(x - 1)
32         sum = sum / x * (x - 1);
33     return sum;
34 }
35 
36 inline int poww(long long a , long long b , int mod){
37     int times = 1;
38     while(b){
39         if(b & 1)
40             times = times * a % mod;
41         a = a * a % mod;
42         b >>= 1;
43     }
44     return times;
45 }
46 
47 long long dfs(int x){
48     if(x == 1)
49         return 0;
50     return poww(2 , ola(x) + dfs(ola(x)) , x);
51 }
52 
53 int main(){
54     for(int i = 2 ; i <= 5000 ; i++)
55         if(!isprime[i]){
56             prime[++cntPrime] = i;
57             for(int j = i ; j * i <= 5000 ; j++)
58                 isprime[j * i] = 1;
59         }
60     for(int T = read() ; T ; T--){
61         int a = read();
62         cout << dfs(a) << endl;
63     }
64     return 0;
65 }