数论_埃氏筛法（求区间内多少素数）

Posted 2021-01-25 passion-sky

埃拉托斯特尼（公元前276—公元前194）

埃拉托斯特尼是古希腊著名的数学家、地理学家、天文学家。他先在亚历山大港学习，后又转至雅典。公元前236年，托勒密三世指定他为亚历山大图书馆的图书管理员和馆长。他跟阿基米德是好朋友。埃拉托斯特尼的主要贡献包括：

埃拉托斯特尼筛法：寻找素数的方法。

地理常数测量：日地间距的测量（现在称一个这样的距离为一个天文单位）、地月间距的测量、测量赤道与黄道之间的偏角、地球半径测量等。

精确地图绘制：当时只有托勒密等级的人物能绘出同等级的地图。

算法数学原理：
埃拉托斯特尼筛法是快速筛选素数的算法，在处理大量整数是否是素数时有较高的效率。

例：筛选小于n的整数并记录结果。

解：计算sqrt(n)，∵对于任意的z<n，若z为合数，不妨设z=a*b，则必有min(a,b)<sqrt(n)

∴所有小于n的合数均可被小于sqrt(n)的整数整除

从2开始，依次去除小于n的整数中能被其整除的数，最后剩下的就是素数

int prime[maxn];
bool is_prime[maxn];//is_prime[i]是true表示i是素数
//返回n以内素数的个数
int sieve(int n)
{
    int p=0;
    for(int i=0;i<=n;i++) is_prime[i]=true;
    is_prime[0]=is_prime[1]=false;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(is_prime[i]){
            prime[p++]=i;
            for(int j=2*i;j<=n;j+=i) is_prime[j]=false;
        }
    }
    return p;
}

　　例题：洛谷 P1865  ，

codevs3223 素数密度

[a,b]的素数，只需要

[2,b√]
的素数表即可。这样我们可以筛出这些素数，然后用这些素数筛[a,b]。

注意，j=max(2ll,(l+i-1)/i)*i的意思：

(l+i-1)/i表示大于等于a的i的倍数的最小值。
2则是普遍的i的倍数的最小值，一定不能小于2。
再乘i，j就可以枚举[a,b]之间的合数了。

 

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int SIZE=1000010;
bool vis[SIZE];
bool pri[SIZE];
typedef long long LL;
int main()
{
    LL l,r;
    scanf("%lld%lld",&l,&r);

    for(LL i=2;i<=sqrt(r);i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            for(LL j=i*i;j<=sqrt(r);j+=i) vis[j]=1;

            for(LL j=max(2ll,(l+i-1)/i)*i;j<=r;j+=i) pri[j-l]=1;  
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=r-l;i++) if(!pri[i]) ans++;
    printf("%d",ans);

    return 0;
}