莫比乌斯反演简略版

Posted 2021-01-21 emiya-wjk

(g(x)=sumlimits_{d|x}f(d) iff f(x)=sumlimits_{d|x}mu(frac{x}{d})*g(d))

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(g(x)=sumlimits_{x|d}^nf(d) iff f(x)=sumlimits_{x|d}^nmu(frac{d}{x})*g(d))

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(mu)为莫比乌斯函数。

定义：(sumlimits_{d|x}mu(d)=[x==1])

经分析可得：

①(x=p_1p_2p_3...p_n,mu(x)=(-1)^n)

②(x=p^2*d,mu(x)=0)

③(x=1,mu(x)=1)

线性筛代码如下：

    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!vis[i])prime[++prime[0]]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=prime[0]&&1ll*i*prime[j]<=n;j++){
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)break;
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }