莫比乌斯反演

Posted 2021-01-22 shzr

$Mobius$ $inversion$ $formula$

　　以后的博客都改用楷体了,还是楷体好看.

　　首先既然要学莫比乌斯反演,我们就应该先知道莫比乌斯反演名字的来源,莫比乌斯函数是根据$19$世纪的数学家奥古斯特·莫比乌斯命名的.

　　那么我们退而求其次,看一下一个叫做莫比乌斯函数的东西:

　　$mu(n)=egin{Bmatrix} 1，n=1 \ (-1)^k,n=prod_{i=1}^k p_i \0，othersend{Bmatrix}$

　　还有一些小的知识点:

　　数论函数：定义域为$N$的函数.举几个例子:

　　　　1. $varphi (n)=sum_{i=1}^n[(i,n)==1]$

　　　　2. $id(n)=n$

　　　　3. $1(n)=1$

　　　　4. $d(n)=sum_{d|n}1$

　　　　5. $sigma (n)=sum_{d|n}d$

　　　　6. $varepsilon (n)=[n=1]$

?　　积性函数:对于任意$(a,b)=1$,满足$f(ab)=f(a) imes f(b)$

　　完全积性函数:$f(a,b)=f(a) imes f(b)$

?　　来尝试一下运用: 

?　　$mu(n)$ 和 $varphi(n)$ 都是积性函数,所以都可以线性筛:

　　

 1 # include <cstdio>
 2 # include <iostream>
 3 # define R register int
 4 
 5 using namespace std;
 6 
 7 const int maxn=100000;
 8 int phi[maxn],n,pri[maxn],vis[maxn],h;
 9 
10 int main()
11 {
12     scanf("%d",&n);
13     phi[1]=1;
14     for (R i=2;i<=n;++i)
15     {
16         if(!vis[i])
17             pri[++h]=i,phi[i]=i-1;
18         for (R j=1;j<=h&&i*pri[j]<=n;++j)
19         {
20             vis[ i*pri[j] ]=1;
21             if(i%pri[j]==0)
22             {
23                 phi[ i*pri[j] ]=phi[i]*pri[j];
24                 break;
25             }
26             phi[ i*pri[j] ]=phi[i]*(pri[j]-1);
27         }
28     }
29     for (R i=1;i<=n;++i)
30         printf("%d ",phi[i]);
31     return 0;
32 }

线性筛phi

　　

 1 for (R i=2;i<=n;++i)
 2     {
 3         if(!vis[i])
 4             pri[++h]=i,mu[i]=1;
 5         for (R j=1;j<=h&&i*pri[j]<=maxn;++j)
 6         {
 7             vis[ i*pri[j] ]=1;
 8             if(i%pri[j]) break;
 9             mu[ i*pri[j] ]=-mu[i];
10         }
11     }

线性筛mu

 

　　下面是一些小证明，这次我决定把用到的结论全证一遍,因为随着时代的进步背板子题只能越来越少,而且现在时间也比较多.

　　1.$sum_{d|n}mu(d)=varepsilon (n)$

　　证明:

?　　当$n=1$时显然是成立的.

?　　首先对于 $n$ 分解质因数,得$n=prod_{i=1}^kp_i^{a_i}$

?　　显然对于任意的$d|n$,$d=prod_{i=1}^kp_i^{b_i},b_i<=a_i$

　　如果$max{b_i}>1$,则$mu(d)=0$,对答案不造成影响,所以不用考虑.

?　　那么能够影响答案的 $d$ 必然满足任意质因子的次数最多等于 $1$ ,且都是在 $n$ 中出现过的质因子.

　　枚举 $d$ 中含有的因子数量:

　　$sum_{d|n}mu(d)=sum_{i=0}^k inom{k}{i} (-1)^k=sum_{i=0}^k inom{k}{i} (-1)^k1^{-k}=(-1+1)^k=0$

　　

　　2.$frac{varphi(n)}{n}=sum_{d|n}frac{mu(d)}{d}$

　　证明：$varphi(n)=sum_{i=1}^n[(i,n)=1]$

?　　$varphi(n)=sum_{i=1}^nsum_{d|(i,n)}mu(d)$

　　变枚举约数为枚举倍数：

　　$varphi(n)=sum_{d|n}mu(d)sum_{d|i}^n1$

　　$varphi(n)=sum_{d|n}mu(d)frac{n}{d}$

　　$frac{varphi(n)}{n}=sum_{d|n}frac{ mu(d) }{d}$

 

　　这里好像不得不补充一点卷积的内容了.

　　$h=(f imes g) ightarrow h(n)=sum_{d|n}f(d) imes g( frac{n}{d} )$

　　显然$h(n)=sum_{d|n}g(d) imes f(frac{n}{d})$

　　这就是著名的$Dirichlet$卷积.

　　3.$id=varphi imes 1$

　　?证明:

　　?$varphi imes 1=sum_{d|n}varphi(d) imes 1(frac{n}{d})$

　　$=sum_{d|n}varphi(d)$

　　$=sum_{d|n}sum_{i=1}^d [(i,d)=1]$

　　$=sum_{d|n}sum_{i=1}^d sum_{k|(i,d)} mu(k)$

　　代入$(2)$中的结论:

　　$=sum_{d|n}sum_{k|d}mu(k) imes id(frac{d}{k})$

　　进行一番合式变换:

　　$=sum_{d|n}sum_{k|d} mu (frac{d}{k}) imes id(k)$

　　$=sum_{k|n}k sum_{d|frac{n}{k}} mu(d)$

　　再运用一下$(1)$里面的结论,只有$frac{n}{k}=1$时，后面的合式等于一，此时前边 $k=n$ ,其余时间整个合式等于$0$.

　　至于最后一步的合式变换为什么是对的:

　　在上一步中,被放到 $mu$ 里面的那部分乘上 $k$ 是 $n$ 的一个因子.所以当我们转而枚举 $k$ 的时候,只需要$(k imes d)|n$,也就是$d|frac{n}{k}$.

　　?如果还是不理解就看看这个:

　　例如$n=6$

　　$d=1$ $mu(1) imes 1$

　　$d=2$ $mu(2) imes 1+mu(1) imes 2$

　　$d=3$ $mu(3) imes 1+ mu(1) imes 3$

　　$d=6$ $mu(6) imes 1+mu(3) imes 2+mu(2) imes 3+mu(1) imes 6$

 

　　好了,现在进入正题:

　　$$f(n)=sum_ {d∣n}g(d)$$

　　已知 $g$ 求 $f$ ...好像挺简单的,以我的水平求单个最少可以做到$sqrt{N}$.

　　但是现在需要已知 $f$ 求 $g$ 了,怎么做?

　　如果 $n$ 非常小,是可以高斯消元的.

　　如果 $n$ 并不小呢?

　　结论一:

　　$$g(n)=sum_{d|n}mu(d) imes f(frac{n}{d})$$

　　尝试证明一下:

　　$sum_{d|n}mu(d) imes f(frac{n}{d})$

　　$=sum_{d|n}mu(d)sum_{k|frac{n}{d}}g(k)$

　　$ecause qk=frac{n}{d}$

　　$ herefore qd=frac{n}{k}$

　　$=sum_{k|n}g(k)sum_{d|frac{n}{k}}mu(d)$　

　　当且仅当$k=n$,第二个合式等于 $1$ ,其余时间等于 $0$.

　　$=g(n)$

　　---shzr