莫比乌斯反演

Posted 2020-10-28 peng-ym

tags:

篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了莫比乌斯反演相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

莫比乌斯反演

（PS：在评论区中众多dalao的催促下，我认真的写了三天三夜写完了这篇杜教筛，保证是精品！）

前言

（这大概是我第一次写学习笔记吧OvO）
可能每一个刚开始接触莫比乌斯反演的OIer，起初都会厌恶这个神奇的东西。~~(我也一样233)~~每一个人厌恶的原因有许多，可能是这个烦人的式子，也可能仅仅只是因为不理解\\(\\mu\\)函数而感到不爽。当然，莫比乌斯反演有一个小小的预备知识：整除分块
那么我们先从莫比乌斯反演中最基础的莫比乌斯函数\\(\\mu\\)开始说起：

莫比乌斯函数

首先，我们可以先明确一点，莫比乌斯函数并不是什么很高大上的东西，它其实只是一个由容斥系数所构成的函数。\\(\\mu(d)\\)的定义是:

当\\(d=1\\)时，\\(\\mu(d)=1\\)；
当\\(d=\\Pi_{i=1}^{k}p_i\\)且\\(p_i\\)为互异素数时，\\(\\mu(d)=(-1)^k\\)。(说直白点，就是\\(d\\)分解质因数后，没有幂次大于平方的质因子，此时函数值根据分解的个数决定)；
只要当\\(d\\)含有任何质因子的幂次大于等于2，则函数值为0.

当然，莫比乌斯函数也有很多有趣的性质：

对于任意正整数\\(n\\)，\\(\\sum_{d|n}\\mu(d)=[n=1]\\)。（\\([n=1]\\)表示只有当\\(n=1\\)成立时，返回值为\\(1\\)；否则，值为\\(0\\)；(这个就是用\\(\\mu\\)是容斥系数的性质可以证明)(PS:这一条性质是莫比乌斯反演中最常用的)
对于任意正整数\\(n\\)，\\(\\sum_{d|n}\\frac{\\mu(d)}{d}=\\frac{\\phi(n)}{n}\\)。（这个性质很奇妙，它把欧拉函数和莫比乌斯函数结合起来，或许我之后写杜教筛的学习笔记时会去证明吧）

程序实现并不难，我们可以在线性筛素数的程序上略作修改，便可以筛出\\(\\mu\\)函数。
那我还是给一段线筛的代码吧

void get_mu(int n)
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!vis[i]){prim[++cnt]=i;mu[i]=-1;}
        for(int j=1;j<=cnt&&prim[j]*i<=n;j++)
        {
            vis[prim[j]*i]=1;
            if(i%prim[j]==0)break;
            else mu[i*prim[j]]=-mu[i];
        }
    }
 }