bzoj 2038: [2009国家集训队]小Z的袜子(hose) (莫队）

Posted 2021-01-19 kls123

Description

作为一个生活散漫的人，小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天，小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程，于是他决定听天由命……
具体来说，小Z把这N只袜子从1到N编号，然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双，甚至不在意两只袜子是否一左一右，他却很在意袜子的颜色，毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。
你的任务便是告诉小Z，他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然，小Z希望这个概率尽量高，所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。

Input

输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量，M为小Z所提的询问的数量。接下来一行包含N个正整数Ci，其中Ci表示第i只袜子的颜色，相同的颜色用相同的数字表示。再接下来M行，每行两个正整数L，R表示一个询问。

Output

包含M行，对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1，否则输出的A/B必须为最简分数。（详见样例）

Sample Input

6 4
1 2 3 3 3 2
2 6
1 3
3 5
1 6

Sample Output

2/5
0/1
1/1
4/15
【样例解释】
询问1：共C(5,2)=10种可能，其中抽出两个2有1种可能，抽出两个3有3种可能，概率为(1+3)/10=4/10=2/5。
询问2：共C(3,2)=3种可能，无法抽到颜色相同的袜子，概率为0/3=0/1。
询问3：共C(3,2)=3种可能，均为抽出两个3，概率为3/3=1/1。
注：上述C(a, b)表示组合数，组合数C(a, b)等价于在a个不同的物品中选取b个的选取方案数。
【数据规模和约定】
30%的数据中 N,M ≤ 5000；
60%的数据中 N,M ≤ 25000；
100%的数据中 N,M ≤ 50000，1 ≤ L < R ≤ N，Ci ≤ N。

 

思路：

主要是推公式，公式推出来了就是一道很简单的题，不会在博客里插公式。。。

因为最后是输出分子和分母，我们可以确定分母是： （r-l+1）*(r-l)/2, 设某个数在区间出现的次数为 c 那么分子的公式就是：  ((c1-1)*c1+(c2-1)*c2+....+(cn-1)*cn)/2,分子可以优化为：

c1^2 + c2^2 + c3^2 + .... + cn^2+(c1 + c2 + c3 +...+ cn)  = c1^2 + c2^2 + ...+ cn^2 - (r - l + 1);

那么每一次区间多增一个数的时候多增加的值 :    ans  = ans - ci^2 + (ci + 1)^2 = ans + ci*2 + 1;

推到这里，将上面的公式带到莫队里面去就好了，记得开long long .

 

实现代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int M = 1e5 + 10;
int blo;
ll vis[M],a[M],cnt;
struct node{
    ll l,r;
    int id;
    bool operator < (const node &k) const{
         if(l/blo == k.l/blo) return r < k.r;
         return l/blo < k.l/blo;
    }
}q[M];

struct node1{
    ll x,y;
}ans[M];

void add(ll x){
    cnt += vis[x]*2+1;
    vis[x] ++;
}

void del(ll x){
    cnt = cnt - vis[x]*2+1;
    vis[x] --;
}

int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i = 1;i <= n;i ++){
        scanf("%lld",&a[i]);
    }
    blo = (int)sqrt(n);
    for(int i = 1;i <= m;i ++){
        scanf("%lld%lld",&q[i].l,&q[i].r);
        q[i].id = i;
    }
    sort(q+1,q+1+m);
    int l = 1,r = 0;
    for(int i = 1;i <= m;i ++){
        while(l < q[i].l) del(a[l++]);
        while(r < q[i].r) add(a[++r]);
        while(l > q[i].l) add(a[--l]);
        while(r > q[i].r) del(a[r--]);
        if(q[i].l == q[i].r) {
            ans[q[i].id].x = 0;
            ans[q[i].id].y = 1;
            continue;
        }
        ll x = cnt - (q[i].r-q[i].l+1);
        ll y = (q[i].r-q[i].l)*(q[i].r-q[i].l+1);
        ll g = __gcd(x,y);
        ans[q[i].id].x = x/g; ans[q[i].id].y = y/g;
    }
    for(int i = 1;i <= m;i ++){
        printf("%lld/%lld
",ans[i].x,ans[i].y);
    }
}