过河问题（图论方法）

Posted 2021-01-15 lfri

农夫过河问题

问题描述

一个农夫带着一头狼、一头羊、一颗白菜过河。他面前只有一条船，只能容纳他和一件物品，只有农夫会划船。如果农夫不在场，狼会吃羊、羊会吃白菜，农夫在场则不会。求将所有物品运到对岸的方案。

解题思路

根据物品的位置定义状态，若在左岸记为1，右岸记为0，于是最终方案就是(1,1,1,1)-->(0,0,0,0)所经过的路径。

1、定义状态

2、列举所有状态（人、狼、羊、菜）

3、删除不合理的状态（狼和羊、羊和菜）

4、连边（模拟一次渡河）

5、寻找路径

寻找(1111)-->(0000)的边，可以用寻路算法如bfs、dfs,如果要求最短路可以用最短路算法如bfs、Dijsktra等，当然这里图很简单，可直接观察出来。

(1111)-->(0101)-->(1101)-->(0001)-->(1011)-->(0010)-->(1010)-->(0000)（两条最短路之一）
       左岸                                 右岸
1、人  狼  羊 花                           空
2、狼  花                                 人 羊
3、人  狼 花                               羊
4、花                                     人 狼  羊
5、人  羊  花                              狼
6、羊                                     人 花  狼
7、人 羊                                  狼 花
8、空                                     狼 花 人 羊   

传教士与吃人恶魔的问题

问题描述

有三个传教士和三个吃人恶魔要渡过一条河，河中有一条船，只能装下两个人。在任何地方（无论是岸边还是船上），如果吃人恶魔数量多于传教士数量，吃人恶魔就会吃掉传教士。问：怎么才能让这些都安全过河？

解题思路

1、定义状态

2、列举所有状态

3、删除不合理状态

4、连边（模拟依次渡河变化）

5、寻找路径

寻找(33 L 00)-->(00 R 33)的路径

其中一条路径
(33 L 00)-->(31 R 01)-->(32 L 01)-->(30 R 03)-->(31 L 02)-->(11 R 22)-->(22 L 01)-->(02 R 31)-->(03 L 30)-->(01 R 32)-->(02 L 31)-->(00 R 33)
1、两个吃人恶魔过河
2、一个吃人恶魔回来
3、两个吃人恶魔过河
4、一个吃人恶魔回来
5、两个传教士过河
6、一个传教士和一个吃人恶魔回来
7、两个传教士回来
8、一个吃人恶魔回去
9、两个吃人恶魔过河
10、一个吃人恶魔回去
11、两个吃人恶魔过河

四人过桥问题

问题描述

在一个漆黑的夜里，四位旅游者来到一座狭窄而没有护栏的桥边，如果不借助手电筒的话，大家是无论也不敢过去。不幸的是四个人中只有一只手电筒，而桥窄得只够两个人同时通过。如果各自单独过桥得话，四个人所需要的时间分别是1、2、5、8分钟，如果两个人同时过桥，所需要的时间是较慢的那个人单独行动时的时间。问：如何设计一个方案，让四个人尽快过桥。

解题思路

与前面两个相比，这次不仅要求方案，同时要求时间最短。