过河问题（牛虎过河商人仆人过河农夫妖怪过河传教士野人过河）（第2届第2题）

Posted 2020-06-17

题目要求

       问题描述：三只牛三只虎过河，船最多只能容纳两只动物，且船在往返途中不能为空。在任一岸边，若牛的数量少于虎的数量，则牛就会被老虎吃掉。为了使动物全部过河且使无损失，请制定合理的渡河方案。

解决方案

       这也是一个经典的渡河问题了，由此衍化出的版本有商人仆人（随从）过河，农夫妖怪过河，传教士野人过河...除了角色有变化，内容本质上是一样的。

       假设原来的动物和船都在A岸，现在想渡河到对面的B岸。考虑牛虎数量和船的位置，可以将本题中的所有可能出现的情形描述为静态属性和动态属性。静态属性就是船停靠在A岸或者B岸时，A岸牛、虎的数量（A岸数目一定时，B岸也一定，所以只需考虑一边就行），动态属性就是船在运行中时，A岸或者B岸牛、虎的数量。

       进一步考虑，只要知道了相邻的两个静态属性，也就知道了发生在其间的动态属性。比如开始船在A岸，A岸有牛、虎各三只，下一个状态为船在B岸，A岸有牛虎各两只，那它们之间的动态属性一定是船由A到B，且运送了一牛一虎过去（不考虑重复的状况）。所以在这里，我们只需要确定每一步对应的静态属性，在编程中，将其描述为状态。对于岸边的牛或者虎的数量，只有0到3这四个取值，对于船的停靠位置，只有A岸和B岸两种情形，这样一来，就有了4*4*2=32种状态。在这32种状态中，有些状态会引起牛吃虎，这必须被排除掉。

       到这里，制定渡河方案的问题就转换为在这32个状态中探寻合理“状态路径”的问题。我们从初始状态——A岸牛虎各三只，船在A岸这个状态出发，不断判断遇到的下一个状态是否合理。如果下一个状态合理，就将其加入到“状态路径”当中，并留下访问标记（防止重复添加，形成环路），否则，跳过此状态。在不断向前探寻的过程中，如果遇到一个标记为已访问的状态，说明该状态已加入路径，需要探寻下一种可能。如果遇到了结束状态——A岸牛虎为零，船在B岸，则说明找到了一条完整的“状态路径”，这时需要打印这条路径，并清除当前状态的访问标记，且退出上一个状态，继续寻找下一种可能性。

       在具体编程中，可以利用栈来存储初始状态到结束状态的所有状态，目的是为了在遇到不符合题意的状态时，可以原路返回，便于回溯。由于在推进过程中，每个状态都是基于对岸边牛虎数量和船的停靠位置的判断，所以，考虑用递归会更容易。但值得注意的是，这里的递归并不像斐波那契数列那样不断衍生出先决条件，而是更类似于“尾递归”，边递归，边推进，即递归的外壳，迭代的内心。

源码示例

结果展示

小结

       一个经典的过河问题，本质就是在各状态之间寻求符合题意的状态路径，在有多条路径的情形下，需要使用栈保存之前的各个状态，以便在遇到不符合条件的状态时可以回溯。这种回溯思想在迷宫寻路问题和八皇后问题中都有体现。可以说是一母同胞，属于同一类型的问题。