排列组合常见解题方法

Posted 2021-01-15 greyqz

由 27 October in ss 中的一道题阐发：

拓展：把 (n) 个相同物品放入 (m) 个篮子, 若

(1) 篮子可以为空, 篮子不同：共有 (C_{n+m-1}^{m-1}) 种方案.

(2) 篮子不可以为空, 篮子不同：共有 (C_{n-1}^{m-1}) 种方案. （挡板法）

(3) 篮子可以为空, 篮子相同：方案递推式为 (f(n,m)=f(n-1,m)+f(n,m-1)).

(4) 篮子不可以为空, 篮子相同：方案算式为 (f'(n,m)=f(n-m,m)).

推广：记 (Q(n,m)) 为把自然数 (n) 拆分为 (m) 个无序的自然数的方案数.

[displaystyle Q(n,m)=egin{cases} 1,& m=1 ext{ or } n=1,\\ Q(n,n),& m>n,\\ 1+Q(n,n-1),& m=n,\\ Q(n,m-1)+Q(n-m,m),& m<n. end{cases} ]

排列组合题的常见解题方法：捆绑法、插空法、分组法、挡板法、优限法、倍缩法、间接法.

捆绑法——解相邻问题

例1：(1) 求 7 的排列中偶数必相邻的排列种数. (2) 求 7 的排列中偶数互不相邻的排列种数.

对于 (1), 因为偶数必相邻, 所以把偶数 “捆绑” 为一个整体, 与 1, 3, 5, 7 排序, 有 (A_5^5) 种排法；偶数 “捆绑” 的内部, 有 (A_3^3) 种排法. 根据乘法原理, 共有 (A_5^5cdot A_3^3=720) 种排法.

对于 (2), 先对奇数排序, 共 (A_4^4) 种排法；将 2, 4, 6 插入 1, 3, 5, 7 之间, 有 5 个间隙, 有 (A_5^3) 种 “插入” 方法. 根据乘法原理, 共有 (A_4^4cdot A_5^3=1440) 种排法.

(n) 个不同元素必须相邻, 有 (A_n^n) 种 “捆绑” 方法.

(n) 个不同元素互不相邻, “插入” (m) 个间隙中, 有 (A_m^n) 种 “插入” 方法.

插空法——解不相邻问题

例2：6个不同物品放在九个相同容器里, 每个容器只能放入最多一个物品, 每个空容器两边都有物品, 求方案数.

6 个不同物品有 (A_6^6) 种不同的顺序；把 3 个相同空容器 “插入” 到 6 个人当中的 5 个 “空隙”, 有 (C_5^3) 种方法. 根据乘法原理, 共有 (A_6^6cdot C_5^3=7200) 种方案.

(n) 个相同元素互不相邻, “插入” (m) 个间隙中, 有 (C_m^n) 种 “插入” 方法.

分组法——解不同元素分组问题

例3：求将 1, 2, 3, 4, 5, 6 分为 3 组的分组方法.

分类讨论：

第一类 (1-1-4) 分法（整体等分, 局部不等分）：(法1) 6 取 4 “捆绑”, 得 (C_6^4=15). (法2) 先取 1 个为 (C_6^1)；再取 1 个为 (C_5^1), 两次选取无先后之分, 所以再除以 (A_2^2)；剩下 4 个自成一组. 得 (displaystyle frac{C_6^1cdot C_5^1}{A_2^2}=15).

第二类 (1-2-3) 分法（整体和局部均不等分）：6 取 1 为 (C_6^1)；5 取 2 为 (C_5^2)；余下自成一组. 得 (C_6^1cdot C_5^2=60).

第三类 (2-2-2) 分法（整体和局部均等分）：6 取 2 为 (C_6^2)；4 取 2 为 (C_4^2), 两次选取无先后之分, 所以再除以 (A_2^2)；剩下 2 个元素自成一组. 得 (displaystyle frac{C_6^2cdot C_4^2}{A_2^2}=15).

根据加法原理, 共有 (15+60+15=90) 种不同的分法.

若干不同元素等份为 (n) 组, 要对每一个组求组合数, 乘积再除以 (A_n^n).

挡板法——解相同元素分组问题

例4：将 8 个相同物品放入 3 个不同容器, 每个容器至少放一个物品, 求方案数.

将 8 个物品放在一起, 插入 7 个 “挡板”：〇|〇|〇|〇|〇|〇|〇|〇. 任意保留 2 个 “挡板” 即可, 为 (C_7^2=21).

(n) 个相同元素分为 (m) 组, 有 (C_{n-1}^{m-1}) 种 “插挡板” 方法.

优限法——解含特殊条件问题

例5：7 个元素排列, 其中两个元素 A, B 特殊, (1) 求 A, B 只能放在两端的排法. (2) 求 A, B 不能放在两端的排法.

对于 (1), A, B 放在两端有 (A_2^2) 种；余下 5 个元素有 (A_5^5) 种. 根据加法原理, 有 (A_2^2cdot A_5^5=240) 种排列方法.

对于 (2), 除去 A, B 的其余 5 个元素放在两端有 (A_5^2) 种；余下 5 个元素（含 A, B）有 (A_5^5) 种. 根据加法原理, 有 (A_5^2cdot A_5^5=2400) 种排列方法.

对于含特殊条件的问题, 优先处理特殊条件, 称为优限法.

倍缩法——解方案有重问题

先按照一个方法, 计算出来的排列数或组合数, 是每一种排列或组合都重复了相同次数统计出来的, 这时只需把所计算出来的数字除以重复的次数, 即可得到要求的排列数或组合数, 这种解析排列组合应用题的方法即为倍缩法.

间接法——解正向求解不显然问题

对于正向求解不显然的问题, 可以考虑反向求解, 用总方案扣除不符合要求的方案. 注意不要多扣、不要少扣.

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参考文献：

1. 李苏勇. 用捆绑、插空、分组、挡板法解排列组合题[J]. 吕梁教育学院学报, 2008, 25(4): 67-68.
2. Yogurshinem. m个苹果放入n个篮子. 博客园. https://www.cnblogs.com/Yogurshine/p/3829477.html