「模拟赛20181025」御风剑术 博弈论+DP简单优化

Posted 2021-01-15 modeststarlight

题目描述

Yasuo 和Riven对一排(n)个假人开始练习。斩杀第(i)个假人会得到(c_i)个精粹。双方轮流出招，他们在练习中互相学习，所以他们的剑术越来越强。基于对方上一次斩杀的假人数量(k)，可以斩杀掉剩余假人中位置最靠前的([1,2k])范围内数量的连续假人。最初Yasuo先出招，斩杀(1)或(2)个假人。Yasuo偷偷把你叫到一边，问在双方都采取最优策略的情况下, 他最多能够获取多少精粹。

输入

第一行一个正整数(n)，表示假人的个数。
接下来(n)行，每行一个正整数(c_i)表示斩杀每个假人获得的精粹数。

输出

一个正整数表示 Yasuo 能够得到的最大精粹数量。

样例输入

5
1
3
1
7
2

样例输出

9

样例解释

Yasuo 斩(1)号，Riven 斩(2)号，Yasuo 斩(3,4)号，Riven 斩(5)号。

数据范围

对于前(10\%)的数据，(n leq 10)
对于前(40\%)的数据，(n leq 500)
对于(100\%)的数据，(5 leq n leq 5000, ci leq 10^9)

题解

首先，吐槽题目背景，并吐槽搬题并魔改的出题人。

简单博弈论(DP)，几乎不怎么涉及博弈论的知识。
显然两人其实是等价的，设(f[i][j])表示现在剩下末尾的(i)个假人，最后一刀是砍了(j)个假人，能得到的最大值。显然我们可以枚举下一刀砍了多少人(kin[1,2j])，(DP)状态的转移就会非常简单。但很遗憾，这样的复杂度是(O(n^3))，并不能通过所有测试点。
考虑优化，我们把(DP)式子写下来吧：
(f[i][j] = max(s[i]-f[i-k][k]))，其中(kin[1,2j])，(s[i])表示后(i)个人的(c)之和。
化一下式子：
(f[i][j] = max(f[i][j-1],s[i]-f[i-2j][2j],s[i]-f[i-2j+1][2j-1]))
然后就没了……
(Code:)

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 5005
#define ll long long
#define inf (1ll << 50)
template<typename Mytype>void Read(Mytype &p)
{
    p = 0;
    char c = getchar();
    for (; c < '0' || c > '9'; c = getchar());
    for (; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar())p = p * 10 + c - '0';
}
ll s[N];
ll f[5005][5005];
int n, A[N];
int main()
{
    Read(n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        Read(A[i]), s[n - i + 1] = A[i];
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        s[i] += s[i - 1];
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            ll ans1 = -inf, ans2 = -inf;
            if (i >= (2 * j - 1))
                ans1 = s[i] - f[i - (2 * j - 1)][2 * j - 1];
            if (i >= (2 * j))
                ans2 = s[i] - f[i - 2 * j][2 * j];
            f[i][j] = max(max(ans1, ans2), f[i][j - 1]);
        }
    }
    printf("%lld
", f[n][1]);
}