[CSP-S模拟测试]:取石子（博弈论+DP）

Posted 2020-11-16 wzc521

题目描述

有三堆石子，它们的石子个数分别为$x,y,z$。
$A$和$B$正在博弈，由$A$先手，双方轮流操作。
每次操作是指，选择若干堆（$1-3$堆）石子，从中各取出相同数量的石子（不能$1$个都不取）。不能操作的人失败。
请判定是否先手必胜。

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输入格式

第一行一个整数$T$，表示数据组数。
接下来$T$行，每行三个整数$x,y,z(1leqslant x,y,zleqslant 300)$，描述一组数据。

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输出格式

每组数据输出一行：
$ullet$若先手必胜，输出$Yes$，否则输出$No$

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样例

样例输入：

2
1 1 1
1 2 3

样例输出：

Yes
Yes

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数据范围与提示

样例解释：

第一组数据，先手可以一次把所有石子取完。

第二组数据，先手第一步可以取完第三堆石子，得到$(1,2,0)$是一个先手必败的局面，从而刚开始的先手必胜。

数据范围：

对$100\%$的数据，$Tleqslant 500$，记$M=max(x,y,z)$。
$ullet$子任务$1$（$10$分）：保证$Mleqslant 7$。
$ullet$子任务$2$（$30$分）：保证$Mleqslant 50$。
$ullet$子任务$3$（$30$分）：保证$min(x,y,z)=0$。
$ullet$子任务$4$（$30$分）：保证$Mleqslant 300$。

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题解

这是一个$DP$……

首先，设$dp[i][j][k]$表示第一堆有$i$个，第二堆有$j$个，第三堆有$k$个是否必胜。

根据博弈论思想，如果一个局面可以转移为一个必败局面，那么这个局面必胜；注意反之则不然，因为我们可以不转移向必胜的局面。

初始时将所有局面都置为负，然后从小到大枚举$i,j,k$，如果当前局面没有标记胜，则一定为负，然后将所有能转移到它的局面置为胜即可。

看似时间复杂度是$Theta(n^4)$的，但是注意只有在负的情况下我们才枚举所有能转移到它的局面，而负的局面只有$64972$，所以还是能很快的跑过去的。

时间复杂度：$Theta(n^3+64972 imes n+T)$。

期望得分：$100$分。

实际得分：$100$分。

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代码时刻

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
char ans[301][301][301];
void pre_work()
{
	int res;
	for(int i=0;i<=300;i++)
		for(int j=0;j<=300;j++)
			for(int k=0;k<=300;k++)
			{
				if(ans[i][j][k])continue;
				for(int l=i+1;l<=300;l++)ans[l][j][k]=1;
				for(int l=j+1;l<=300;l++)ans[i][l][k]=1;
				for(int l=k+1;l<=300;l++)ans[i][j][l]=1;
				res=300-max(i,j);
				for(int l=1;l<=res;l++)ans[i+l][j+l][k]=1;
				res=300-max(i,k);
				for(int l=1;l<=res;l++)ans[i+l][j][k+l]=1;
				res=300-max(j,k);
				for(int l=1;l<=res;l++)ans[i][j+l][k+l]=1;
				res=300-max(i,max(j,k));
				for(int l=1;l<=res;l++)ans[i+l][j+l][k+l]=1;
			}
}
int main()
{
	pre_work();
	int T;scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		int x,y,z;
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		puts(ans[x][y][z]?"Yes":"No");
	}
	return 0;
}

---

rp++