树堆

Posted 2021-01-13 nzd123456

树、堆

 

树：

1、一课树中的任意两个结点有仅有唯一的一条路径连通。
2、一棵树如果有n个结点，那么它一定恰好有n-1条边。
3、在一棵树中加一条边将会构造一个回路。

满二叉树：二叉树所有的叶结点都有同样的深度。
深度为：n，结点数：2**n - 1

 

完全二叉树

如果一棵二叉树除了最右边位置上有一个或者几个叶结点缺少外，其他是丰满的，那么这样的二叉树就完全二叉树。严格的定义是：若设二叉树的高度为h，除h层外，其他各层（1~h-1）的结点数都达到最大个数，第n层从右向左连续缺若干个结点，则这个二叉树就是完全二叉树。

 

 

通过上图我们发现，如果完全二叉树的一个父结点编号为k，那么它左儿子的编号就是2*k，右儿子的编号就是2*k+1。如果已知儿子（左儿子或右儿子）的编号是x，那么它父结点的编号就是x/2，注意这里只取商的整数部分。
如果一颗完全二叉树有N个结点，那么这个完全二叉树的高度为log2N，简写logN，即最多有logN层结点。完全二叉树的最典型应用就是一个堆。

堆—神奇的优先队列

 

最大堆：所有父节点都比儿子结点要大；
最小堆：所有父节点都比儿子结点要小；

 

 
很显然最小的数就在堆顶，假设存储这个堆的数组叫做h的话，最小数就是h[1]。接下来，我们将堆顶的数删除。将新增加的数23放到堆顶。显然加了新数后已经不符合最小堆的特性，我们需要将新增加的数调整到合适的位置。那如何调整呢？

 

 
向下调整！我们需要将这个数与它的两个儿子2和5比较，选择较小的一个与它交换，交换之后如下。

 

我们发展此时还是不符合最小堆的特性，因此还需要继续向下调整。于是继续将23与它的两个儿子12和7比较，选择较小一个交换，交换之后如下。

 

至此，还是不符合最小堆的特性，仍需要继续向下调整，直到符合最小堆的特性为止。

 

现在我们发现已经符合最小堆的特性了。综上所述，当新增加一个数被放置到堆顶时，如果此时不符合最小堆的特性，则需要将这个数向下调整，直到找到合适的位置为止，使其重新符合最小堆的特性。

时间复杂度：logN

新增一个数：

新增一个数，只需要将新元素插入到末尾，再根据情况判断新元素是否需要上移，直到满足堆的特性为止。如果堆的大小为N（即有N个元素），那么插入一个新元素所需要的时间为O(logN)。例如我们现在要新增一个数3。

构造一个最小堆

当然目前这个棵树仍然不符合最小堆的特性，我们需要继续调整以3号结点为根的子树，即将3号结点向下调整。

同理，继续调整以2号结点为根的子树，最后调整以1号结点为根的子树。调整完毕之后，整棵树就符合最小堆的特性了。

像这样支持插入元素和寻找最大 （小）值元素的数据结构称为优先队列。如果使用普通队列来实现这两个功能，那么寻找最大元素需要枚举整个队列，这样的时间复杂度比较高。如果是已排序好的数据，那么插入一个元素则需要移动很多元素，时间复杂度度依旧很高。而堆就是一种优先队列的实现，可以很好地解决这两种操作。

另外Dijkstr算法中每次找离源点最近的一个顶点也可以用堆来优化，使算法的时间复杂度降到O((M+N)logN)。堆还经常被用来求一个数列中第K大的数，只需要建立一个大小为K的最小堆，堆顶就是第K大的数。