noip 模拟赛 T3

Posted 2021-01-13 zhangleo

问：如何快速求出等差数列异或和？

玄学题...

对于异或运算，我们可以分开考虑每一位是1还是0，这样会好做一些

于是我们发现，每一位是一还是0的判别式如下：

设读入的数为x,y,z，等差数列共n项

第i位的值=∑[x+kz/2^i]mod 2 ，k∈[0,n-1]

然后怎么求？

令x=b,k=x,z=a,2^i=c于是

原式=∑[(ax+b)/c]mod 2 ,x∈[0,n-1]

这样：

原式=[a/c]n(n-1)/2+[b/c]n+∑[((a%c)x+b%c)/c] mod 2

前两项可以O(1)求，我们关注一下第三项

我们构造一条直线y=(a%c)/c x+(b%c)/c

那么所求的答案就是直线下方在（0，n-1]内整点的个数

于是我们重构一下坐标系：

令x=n，求出y=[(a%c)/c x+(b%c)/c]，以（x,y）为原点，原x轴负方向为y轴正方向，原y轴负方向为x轴正方向建立新坐标系

那么我们会发现，所求的答案范围并没有变，仍然是刚才说的那些点的范围，但是我们可以换一个方式来求：

重构坐标系以后，每个点的横纵坐标交换，所以新的直线斜率是原来的倒数，即c/(a%c)

于是我们只需求出新的截距就能确定新的这条直线

以下是求截距的方程：

如果想求出截距，我们需要解出原坐标系中y=[(a%c)/c n+(b%c)/c]时在直线y=(a%c)/c x+(b%c)/c上对应的x值

所以我们要求解方程[(a%c)/c n(b%c)/c]=(a%c)/c x+(b%c)/c

最后解出x=n-(an+b)%c

这样截距就是n-x=（an+b)%c/（a%c)

这样新直线也就定下来了

那么我们所求也就转成了：

∑（(cx+(an+b))/（a%c））,x∈[0,[((a%c)/c)n+(b%c)/c]-1]

发现这个表达式与原表达式结构相同，于是我们递归求解即可

注意上面的[x]为高斯函数，含义为向下取整

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#define ll long long
using namespace std;
ll xx,y,z;
ll get_ans(ll a,ll x,ll b,ll c)
{
    ll ret=0;
    ret+=x*(b/c)%2+(x-1)*x/2*(a/c)%2;    
    a%=c;
    b%=c;
    if(a*x+b<c)
    {
        return ret%2;
    }else
    {
        return (ret%2+get_ans(c,(a*x+b)/c,(a*x+b)%c,a))%2;
    }
}
int main()
{
    freopen("C.in","r",stdin);
    freopen("C.out","w",stdout);
    scanf("%I64d%I64d%I64d",&xx,&y,&z);
    ll n=(y-xx)/z+1;
    ll ans=0;
    for(int i=0;i<32;i++)
    {
        ans|=((get_ans(z,n,xx,(1ll<<i))%2)<<i);
    }
    printf("%I64d
",ans);
    return 0;
}