卡特兰数 斯特林数

Posted 2021-01-12 zolrk

卡特兰数(C_{2n}^n - C_{2n}^{n-1})
还有常用的递推：

int main() {
    scanf("%d", &n);
    f[0] = 1, f[1] = 1;
    for(int i=2; i<=n; i++) {
        for(int j=0; j<i; j++) {
            f[i] += f[j] * f[i-j-1];
        }
    }
    printf("%d", f[n]);
    return 0;
}

貌似很多题都是第0项为1，第一项为1，第二项为2，第三项为5这样的

第一类斯特林数
(S(n,k) = (n-1)*S(n-1，k) + S(n-1,k-1))

第二类斯特林数
(S(n,k) = k*S(n-1，k) + S(n-1,k-1))
(S(n,1) = 1 (n geq1 ))
(S(n,n) = 1，S(n,0)=0)
对于第二类斯特林数公式的推导：
若第n个元素单独成一个集合，则有方案数(S(n-1,k-1))
若n和别的元素成一个集合，那么n可以放到k个集合中(k*S(n-1,k))

第二类斯特林数，可以求出将n个元素的集合拆分为k个的非空集合的方案数（相当于把n个不同的小球放入m个不可区分，一模一样的盒子里）

例如，将6本不同的书分为三组，求方案数
答案是S(6,3)，但我们还可以用别的方法做一下这道题
根据“先分组后分配”的思路，可以分为1,1,4；2,2,2；1,2,3三种情况
对于每种情况去重：
1,1,4：(C_6^4=C_6^2=15)，分完四本书，剩下的两本自成一组（不用再除以(A_2^2)了）

如果你不信服的话，从另一个角度可以导出一样的式子：(frac{C_6^4C_2^1}{A_2^2} = C_6^4)（如果两个式子在数值上相同，那么这两个式子各自的组合意义可能是解决某个问题的两种思路）
为什么要除以(A_2^2)？假设有A书和B书，分为两组（分组为：1,1），用(C_2^1)来算，是两种方案吗？A B 和 B A是没有差别的，所以只有一种方案。我们只是分组，而这里组和组是一样的，就像两个一模一样的盒子

2,2,2：同上，(frac{C_6^2C_4^2}{A_3^3} = 15)

1,2,3：(C_6^3C_3^2 = 60)

一共90种方案，而第二类斯特林数可以递推求出：
x
1: 1
2: 1 1
3: 1 3 1
4: 1 7 6 1
5: 1 15 25 10 1
6: 1 31 90 65 15 1
7: 1 63 301 350 140 21 1
8: 1 127 966 1701 1050 266 28 1
9: 1 255 3025 7770 6951 2646 462 36 1
10: 1 511 9330 34105 42525 22827 5880 750 45 1
可得S(6,3) = 90

递推程序（要是有错的话，请在评论区指导一下我。。。）

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int MAXN = 3000 + 10;
int s[MAXN][MAXN],n;
int main() {
    scanf("%d", &n);
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        s[i][1] = s[i][i] = 1;
        for(int j=1; j<i; j++) {
            s[i][j] = j * s[i-1][j] + s[i-1][j-1];
        }
    }
    printf("x
");
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        printf("%d: ",i);
        for(int j=1; j<=i; j++) {
            printf("%d ", s[i][j]);
        }
        puts("");
    }
    return 0;
}