数学模型

Posted 2020-12-03 zerolt

Catalan

卡特兰数 — 计数的映射方法的伟大胜利

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Stirling

斯特林数

容斥

容斥原理（翻译）

• UVA10325 The Lottery(状压+容斥)
• UVA11806 Cheerleaders
• SP4191 MSKYCODE - Sky Code
• [CQOI2015]选数(容斥+递推)
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莫比乌斯反演与筛法

[g(n)=sum_{d|n}f(d)] [f(n)=sum_{d|n}{mu(d)g(frac{n}{d})}]
blogs:

1. 莫比乌斯反演入门
2. 【算法】 莫比乌斯反演 -boshi
3. 我也不知道什么是"莫比乌斯反演"和"杜教筛"
4. 浅谈一类积性函数的前缀和
5. 莫比乌斯反演总结
6. 常见积性函数的筛法

题目:

• HDU1695 GCD + [HAOI2011]Problem b + [POI2007]ZAP-Queries
  三倍经验
• [SDOI2015]约数个数和
• Crash的数字表格
• P2257 YY的GCD
• 莫比乌斯函数之和
• 4805: 欧拉函数求和
• SP4168 SQFREE - Square-free integers
• 2440: [中山市选2011]完全平方数
• [SDOI2014]数表（莫比乌斯反演+树状数组）
• P3768 简单的数学题
• 3309: DZY Loves Math
• P4240 毒瘤之神的考验(真的毒瘤的预处理啊orz)
• [NOI2016]循环之美
• [SDOI2017]数字表格（关于幂的莫比乌斯反演orz）

二项式反演

[f(n)=sum_{k=p}^n (egin{matrix} n \\ k end{matrix})g(k)]
[g(n)=sum_{k=p}^n(-1)^{n-k}(egin{matrix} n \\ k end{matrix})f(k)]
莫比乌斯函数、二项式、斯特林数以及它们的反演

1. 3622: 已经没有什么好害怕的了

公式:

1. [g(n)=sum_{d|n}f(d)] [f(n)=sum_{d|n}{mu(d)g(frac{n}{d})}]
2. [f(n)=sum_{k=p}^n (egin{matrix} n \\ k end{matrix})g(k)]
   [g(n)=sum_{k=p}^n(-1)^{n-k}(egin{matrix} n \\ k end{matrix})f(k)]
3. [g(n)=sum_{n|d}{f(d)[d leq m]}] [f(n)=sum_{n|d}{mu(frac{d}{n})g(d)[d leq m]}]
4. 如果(f(n))是积性函数，且((x, y) = 1)，则有
   [f(xy)=f(x)f(y)]
5. [sum_{i=1}^{n}{i[(i, n) == 1]}= frac{varphi(n)*n}2]
   (用到结论:(if (i, n) == 1, then (n-i, n) = 1))
6. [d(ij)=sum_{x|n}{sum_{y|n} [(x, y) == 1]}]
7. [sum_{i=1}^{n}{i imes lfloor frac{n}{i} floor} = sum_{i=1}^n{frac{lfloor frac{n}{i} floor(lfloor frac{n}{i} floor + 1)}{2}}]
8. [(id*mu)(i)=varphi(i)]
   [(varphi*I)(i)=id(i)]
   [(mu*I)(i)=e(i)]
9. [[n == 1]=sum_{d|n}{mu(d)}]
10. [n=sum_{d|n}{varphi(d)}]
11. [sum_{i=1}^{n}{sum_{j=1}^{m}ij}=frac{n^2(n+1)^2}{4}]
12. 除数函数 [sigma_k(n)=sum_{d|n}{d^k}]
    约数个数函数 [ au(n)=sigma_0(n)=sum_{d|n}1]
    约数和函数[sigma(n)=sigma_1(n)=sum_{d|n}d]
13. [sum_{i=1}^ni=frac{n(n+1)}{2}]
    [sum_{i=1}^ni^2=frac{(n+1)(2n+1)n}{6}]
    [sum_{i=1}^ni^3=frac{n^2(n+1)^2}{4}]
14. [varphi(ij)=frac{varphi(i)varphi(j)(i,j)}{varphi((i,j))}]
15. [[f(x) == 1] = e(f(x))=(mu*I)(f(x))]（常用于引进(mu)以进行莫比乌斯反演，如[NOI2016]循环之美）