HDU 1023(卡特兰数 数学)

Posted 2021-01-01 taskr212

题意是求一列连续升序的数经过一个栈之后能变成的不同顺序的数目。

开始时依然摸不着头脑，借鉴了别人的博客之后，才知道这是卡特兰数，卡特兰数的计算公式是：a( n )  =  ( ( 4*n-2 ) / ( n+1 ) * a( n-1 ) )；

用一个二维数组，a[ i ][ 0 ] 表示第 i 个卡特兰数的位数，a[ i ][ j ] ( j != 0) 中存第 i 个卡特兰数从低位到高位的第 j 个数，也就是说数是倒过来存的，输出时要倒着输出。

代码如下：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 int a[105][100];
 3 void ktl()
 4 {
 5     int yu,len;
 6     a[2][0] = 1;
 7     a[2][1] = 2;
 8     a[1][0] = 1;
 9     a[1][1] = 1;
10     len = 1;
11     for(int i = 3; i < 101; ++i)
12     {
13         yu = 0;
14         for(int j = 1; j <= len; ++j)// 第一步：h1(n)= (4*n-2) * h(n-1);
15         {
16             int t = (a[i-1][j])*(4*i-2) + yu;
17             yu = t/10;
18             a[i][j] = t%10;
19         }
20         while(yu)
21         {
22             a[i][++len] = yu%10;
23             yu /= 10;
24         }
25         for(int j = len; j >= 1; --j)//第二步：h(n) = h1(n) / (n+1);
26         {
27             int t = a[i][j] + yu*10;
28             a[i][j] = t/(i+1);
29             yu = t%(i+1);
30         }
31         while(!a[i][len]) --len;//去掉前导零
32         a[i][0] = len;
33     }
34 }
35 int main()
36 {
37     ktl();
38     int n;
39     while(~scanf("%d",&n))
40     {
41         for(int i = a[n][0]; i > 0; --i)
42             printf("%d",a[n][i]);
43         puts("");
44     }
45     return 0;
46 }

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另外，卡特兰数是很神奇的数，应用广泛，在 5 元 10 元排队买票问题，阶梯切割问题，n * n方格行走问题，括号匹配问题，数字入栈处理问题等等问题都可应用到卡特兰数，这些应用的实质感觉是相似的，就是在数量相同的元素 A 和元素 B 组合时，要保证按一定的方向考虑时 A 的个数始终不少于 B 的个数。有关于卡特兰数，请移步：卡特兰数性质及应用 、组合数学及其应用——卡特兰数 。