复变函数系列（三） - 复变函数的积分

Posted 2021-01-12 benjamin142857

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了复变函数系列（三） - 复变函数的积分相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

复变函数的积分

复变函数的积分

Author : Benjamin142857

Date : 2018/10/1

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1. 有关的几个定理与公式

1.1 C-R 方程

Cauchy Riemann equation - 柯西黎曼方程，对于 (f(z) = u + iv)

[ frac{part u}{part x} = frac{part v}{part y} \ frac{part u}{part y} = -frac{part v}{part x} ]

1.2 C-G 定理

Cauchy Goursat theorem - 柯西古萨定理，对于 (f(z)) 在D内解析
[ oint_cf(z)dz=0 ]

1.3 圈圈公式

(c : |z-z_0|=r)
[ oint_{c}frac{dz}{(z-z_0)^{n+1}} = egin{cases} 2pi i，(n=0) \ 0，(n eq0)end{cases} ]

1.4 复合闭路定理

1.5 Cauchy积分公式

(f(z)) 在 (z_0) 连续
[ oint_cfrac{f(z)}{z-z_0}dz = 2pi if(z_0) ]

1.6 高阶导数公式

[ f^{(n)}(z_0) = frac{n!}{2pi i}ointfrac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz ]

1.7 Laplace方程

拉普拉斯方程，对于函数 (phi(x, y))
[ frac{part^2phi}{part x^2} +frac{part^2phi}{part y^2}=0 ]

2. 常见形式的复变函数积分

[A] (int_cf(z)dz) : 简单非闭合曲线积分

一般题目所给出的积分路径 (c) 在 (f(z)) 的解析区域内或 (f(z)) 全平面解析，根据 C-G定理，积分与路径无关，转为x,y重积分

例：求 (int_{c}overline z dz, c : y=x^3(xin [0 ightarrow 2]))

[ int_c overline z dz \= int_{(0, 0)}^{(2,0)}x-iydz + int_{(2, 0)}^{(2,8)}x-iydz \= int_0^2xdx + int_0^8(2-iy)idy\=34+8i ]

路径未必在解析区域内的万能做法，但计算复杂

例：求 (int_{c}overline z dz, c : y=x^3(u(t)-u(t+2)))

(x = t)，(y = t^3)，(tin (0,2))

(z = t+it^3)

(f(z) = t-it^3)

(int_c overline z dz = int_0^2t-it^3d(t+it^3) = int_0^2t+3t^5+i2t^3dt=34+8i)

[B] (oint_cf(z)dz) : 任意函数闭合曲线积分

若在解析区域， C-G定理
[ oint_C f(z)dz = 0 ]

[C1] (oint_cfrac{1}{(z-z_0)^{n+1}}dz) : 纯分母奇点函数积分 - 单奇点

[圈圈公式]

例：求 (oint_{c}frac{1}{(z-1)} dz, c : |z|=2)

[ oint_{c}frac{1}{(z-1)} dz = 2pi i ]

[C2] (oint_c frac{1}{(z-z_1)(z-z_2)}dz) : 纯分母奇点函数积分 - 多奇点

[复合闭路定理** + 圈圈公式 + **Cauchy积分公式]

例：求 (oint_{c}frac{1}{(z-1)(z+1)} dz, c : |z|=2)

[ oint_{c}frac{1}{(z-1)(z+1)} dz\=oint_{c1}frac{frac{z}{z+1}}{(z-1)}dz + oint_{c2}frac{frac{z}{z-1}}{(z+1)}dz \= oint_{c1}frac{frac{1}{1+1}}{(z-1)}dz + oint_{c2}frac{frac{1}{-1-1}}{(z+1)}dz \= 0 ]

[D1] (oint_cfrac{f(z)}{(z-z_0)}dz) : 带分子变量分母奇点函数积分 - 一次单奇点

[ 圈圈公式 + Cauchy积分公式 ]

例：求 (oint_{c}frac{z}{(z-1)} dz, c : |z|=2)

[ oint_{c}frac{z}{(z-1)} dz \= oint_{c}frac{1}{(z-1)}dz \= 2pi i ]

[D2] (oint_cfrac{f(z)}{(z-z_1)(z-z_2)}dz) : 带分子变量分母奇点函数积分 - 一次多奇点

[复合闭路定理** + 圈圈公式 + **Cauchy积分公式]

例：求 (oint_{c}frac{z}{(z-1)(z+1)} dz, c : |z|=2)

[ oint_{c}frac{z}{(z-1)(z+1)} dz \= oint_{c1}frac{frac{z}{z+1}}{(z-1)}dz + oint_{c2}frac{frac{z}{z-1}}{(z+1)}dz \= oint_{c1}frac{frac{1}{1+1}}{(z-1)}dz + oint_{c2}frac{frac{-1}{-1-1}}{(z+1)}dz \= 2pi i ]

[D3] (oint_cfrac{f(z)}{(z-z_0)^5}dz) : 带分子变量分母奇点函数积分 - 高次单奇点

[高阶导数公式** + 圈圈公式 + **Cauchy积分公式]

例：求 (oint_{c}frac{z}{(z-1)^5} dz, c : |z|=2)

[ oint_{c}frac{z}{(z-1)^5} dz \= frac{2pi i}{4!}[z^{(4)}|_{z=1}]\=0 ]

[D4] (oint_cfrac{f(z)}{(z-z_1)^2(z-z_2)^3}dz) : 带分子变量分母奇点函数积分 - 高次多奇点

[高阶导数公式** + 圈圈公式 + 复合闭路定理 + **Cauchy积分公式]

例：求 (oint_{c}frac{z}{(z-1)^2(z-2)^3} dz, c : |z|=3)

[ oint_{c}frac{z}{(z-1)^2(z-2)^3} dz \=oint_{c1}frac{frac{z}{(z-2)^3}}{(z-1)^2}dz + oint_{c2}frac{frac{z}{(z-1)^2}}{(z-2)^3}dz\=frac{2pi i}{1!}[(frac{z}{(z-2)^3})^{(1)}|_{z=2}] + frac{2pi i}{2!}[(frac{z}{(z-1)^2})^{(2)}|_{z=1}]\=不想算 ]