复变函数里的主值到底啥意思

Posted 2023-02-26

复数的模与辐角是复数三角形式表示的两个基本元素，复数所对应的向量长度称为复数的幅值，该向量与实轴正方向的夹角为复数的辐角。辐角的大小有无穷多，但是辐角主值唯一确定。

复变函数里e^[(2k+1)πi]=-1，Ln(-1)=(2k+1)πi，我们规定它的主值为ln(-1)=πi。

z^4，把全平面映射称四叶全平面。其反函数 z^(1/4)，全平面的原像可以是四个象限，为了确定是第几象限，利用z^4=-1四个根(1/√2)(±1+±i)，指定（-1）^(1/4)其中某个值作为主值，可确定某个象限。

扩展资料：

共轭解析函数是和解析函数完全对称的一类函数，这使得复变函数变得完美，众人皆知对称是科学的一个普遍的美。再者由于有了共轭解析函数类的提出，解析函数与共轭解析函数的不同组合才形成了复调和函数、双解析函数、多解析函数及相应的微分方程、积分方程等一系列新的数学分支的产生。

复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。

参考资料来源：百度百科--复变函数

参考技术A

在复平面上，复数所对应的向量与x轴正方向的夹角成为复数的辐角，显然一个复数的辐角有无穷多个，但是在区间（-π，π]内的只有一个，这个辐角就是该向量的辐角主值，也称主辐角，记为argz。

复数的模与辐角是复数三角形式表示的两个基本元素，复数所对应的向量长度称为复数的幅值，该向量与实轴正方向的夹角为复数的辐角。辐角的大小有无穷多，但是辐角主值唯一确定。

扩展资料

设ƒ(z)是平面开集D内的复变函数。对于z∈D，如果极限存在且有限，则称ƒ(z)在z处是可导的，此极限值称为ƒ(z)在z处的导数，记为ƒ'(z)。这是实变函数导数概念的推广，但复变函数导数的存在却蕴含着丰富的内容。

这是因为z+h是z的二维邻域内的任意一点，极限的存在条件比起一维的实数情形要强得多。一个复变函数如在z的某一邻域内处处有导数，则该函数必在z处有高阶导数，而且可以展成一个收敛的幂级数（见解析函数）。

所以复变函数导数的存在，对函数本身的结构有重大影响，而这些结果的研究，构成了一门学科──复变函数论。

参考资料来源：百度百科-辐角主值

参考资料来源：百度百科-复变函数

参考技术B

辐角主值

中文名       辐角主值

外文名       principal argument angle

别    称      主辐角

区    间      （-π，π]

定义

复数的模与辐角是复数三角形式表示的两个基本元素，复数所对应的向量长度称为复数的幅值，该向量与实轴正方向的夹角为复数的辐角。辐角的大小有无穷多，但是辐角主值唯一确定。

辐角主值的计算

例题1：

求复变函数 Ln(1+i) 的主值

1+i=根号2乘以e的i（派/4+2k派）其中k是整数.这里用的是复数的指数形式.为什么加上2k派呢.因为我们知道角度概念扩展.在轴上表示同一个位置的角是相差2k派.主值的话是满足角度在－派到派之间,其中派可取,－派不可取.那么这里的话很明显就是角度是派/4,Ln(1+i)=ln根号2+派/4=0.5ln2+派/4

例题2：

复变函数里的主值到底什么意思?
(1) ,求Ln(-i)及其主值 ,2kpi - pi/2 ) ,主值为 i3pi/2
(2) ,求Ln(-3+4i)及其主值 ,
ln5 - iarctan(4/3) + i(2kpi + pi)
主值为 ln5 + i(pi - arctan(4/3))
我看出(1)题的主值是令k=1求得的 ,而(2)题的主值是令k=0求得的 ,这怎么回事 没有个规定的?
(2)题的答案照公式来应该是 ln5 - i( arctan(-4/3) + 2kpi ) 
又arctan(-4/3)=-arctan(4/3) ,所以也可以写成 ln5 - i( -arctan(4/3) + 2kpi) 
这样怎么不对?为什么答案要多加一个pi?

复数z的辐角有无穷多个,其中有一个角称为辐角的主值,如果一个复变函数的函数值与辐角有关,且是多值函数,那么辐角取主值时的一个分支就称为函数的主值了.
比如对数函数Lnz=Ln(re^i(ψ+2kπ))=lnr+i(ψ+2kπ),k是任意整数,ψ是z的辐角的主值.k=0时的一个分支lnr+iψ称为Lnz的主值,记为lnz,即lnz=lnr+iψ.
注意：有些书上把辐角的主值定义为[0,2π)内的角度,有的是把辐角的主值定义为-π与π之间的角.这里的答案很明显选择的是前者。

参考技术C 这是对多值函数单值枝的规定，与三角函数反函数主值类似，规定一个最基本区间。
例如arcsinx的主值区间为[-π/2，π/2]，sinπ/4=1/√2，sin11π/4=1/√2，我们规定
arcsin(1/√2)=π/4。
复变函数里e^[(2k+1)πi]=-1，Ln(-1)=(2k+1)πi，我们规定它的主值为ln(-1)=πi。
z^4，把全平面映射称四叶全平面。其反函数 z^(1/4)，全平面的原像可以是四个象限，为了确定是第几象限，我们利用z^4=-1四个根(1/√2)(±1+±i)，指定（-1）^(1/4)其中某个值作为主值，可确定某个象限。本回答被提问者采纳 参考技术D 这是对多值函数单值枝的规定，与三角函数反函数主值类似，规定一个最基本区间。例如arcsinx的主值区间为[-π/2，π/2]，sinπ/4=1/√2，sin11π/4=1/√2，我们规定。arcsin(1/√2)=π/4。复变函数里e^[(2k+1)πi]=-1，ln(-1)=(2k+1)πi，我们规定它的主值为ln(-1)=πi。z^4，把全平面映射称四叶全平面。其反函数 z^(1/4)，全平面的原像可以是四个象限，为了确定是第几象限，我们利用z^4=-1四个根(1/√2)(±1+±i)，指定（-1）^(1/4)其中某个值作为主值，可确定某个象限。