Fermat vs. Pythagoras POJ - 1305 （数论之勾股数组（毕达哥拉斯三元组））

Posted 2021-01-11 alingmaomao

题意：（a, b, c）为a²+b²=c²的一个解，那么求gcd(a, b, c)=1的组数，并且a<b<c<=n，和不为解中所含数字的个数，比如在n等于10时，为1， 2， 7，9则输出4.

 

好了！把所用知识点说一下：

数论之勾股数组（毕达哥拉斯三元组）

本原勾股数组（a，b，c）(a为奇数，b偶数）都可由如下公式得出：a=st，b=（s2-t2）/2, c = (s2+t2)/2, 其中s>t>=1是没有公因数的奇数。

再把勾股数公式拿过来：

套路一：

当a为大于1的奇数2n+1时，b=2n^2+2n, c=2n^2+2n+1。

实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：

n=1时(a,b,c)=(3,4,5)

n=2时(a,b,c)=(5,12,13)

n=3时(a,b,c)=(7,24,25) ^[1]  ... ...

 

这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。 ^[1] 

套路二：

2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1

也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：

n=3时(a,b,c)=(6,8,10)

n=4时(a,b,c)=(8,15,17)

n=5时(a,b,c)=(10,24,26)

n=6时(a,b,c)=(12,35,37) ^[1] 

 

代码：（注意运算过程中的溢出）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
int vis[1000005];

ll gcd(ll a, ll b)
{
    return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
}

int main()
{
    int n;
    while (scanf("%d", &n) != EOF)
    {
        memset(vis, 0, sizeof(vis));
        int ans1 = 0, ans2 = 0;
        for (ll s = 3; s <= n;s+=2)
        for (ll t = 1; t < s; t += 2)
        {
            if (gcd(s, t) == 1 && (s*s + t*t) / 2 <= n)
            {
                ++ans1;
                int a = s*t, b = (s*s - t*t) / 2, c = (s*s + t*t) / 2;
                for (ll i = 1; i*c <= n; ++i)
                    vis[i*a] = vis[i*b] = vis[i*c] = 1;
            }
        }
        for (int i = 1; i <= n;++i)
        if (vis[i] == 0)++ans2;
        printf("%d %d
", ans1, ans2);
    }
}