最小割的性质

Posted 2021-01-07 utopia999

数量性质

不同的最小割数量至多为(n-1)。

最小割确定性

称在任一最小割方案中，在残量图上，由源点出发能到达的点的集合为源点残集，能到汇点的点的集合为汇点残集。称在任一最小割方案中，按最小割将图分为两部分，与源点连通的点集为源点割集，与汇点连通的点集为汇点割集。则最小割有以下性质：

• 源点残集一定属于源点割集，汇点残集一定属于汇点割集。
  • 推论：若源点残集与汇点残集的并是整张图，则最小割方案唯一。
• 若一条边满流，且其一个端点属于源点残集，另一个端点属于汇点残集，则这条边在所有的最小割方案中。
• 若一条边满流，且在残量图中其两端点不连通，则这条边可能在某些最小割方案中。

实现时可考虑tarjan缩SCC。

最小割方案计数

一般图最小割方案计数为NP问题。

平面图上，该问题可转换为最短路计数。

最小割树

用于求任意两点间的最小割大小。

每次随机取两个点，求它们的最小割，将图分为两部分，在这两个集合间连一条边权为最小割的边，然后递归处理两个集合。这样最后会得到一棵树。则两个点之间的最小割大小为其树上唯一路径的最小值。

实现时每次更新两部分中的每对点的答案即可。

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