网络流基础-最大流最小割定理

Posted 2020-12-28 willaty

最大流最小割定理，指网络流的最大流等于其最小割。

最大流指符合三个性质的前提下，从S到T能流过的最大流量。

最小割指符合割的定义，最小的割容量。

求最大流：

不断寻找增广路，计算能增加的最小流量，然后增加。

找到一条增光路，最多能流过2，则：

找到第二条路径：

最后还剩a-c-e一条，则可计算出最大流量为4。

 

但遇到以下情况，且第一条路径为a-b-c-d时，就不行了：

此时需要增加反向路径，即当减去增广路时，反向加上减去的流量，提供后悔的选择：

这样，当考虑a-c-b-d时，可以对冲掉b-c的流量。

证明：

定理一：对于任一割和任一流，流量等于正向割边流量减去反向割边流量。即f = f_c+  -  f_c-，其中c+代表正向割边流量。

　　推论：任一割容量必定大于等于任一流量，由于：C₊ > f_c+ > f_c+  -  f_c- > f。

则如果存在某流量和某割，则此流量必定为最大流，此割必定为最小割。

当我们计算出最大流时，不妨思考下此时的残留网络：

　　此时残留网络不存在增广路，即不存在一条能从S到T的路径。

　　此时残留网络中，我们把S能到达的节点记为s‘集，能到达T的节点记为t’集，则s‘和t‘构成割集。

　　在残留网络中，流量指容量为0的边（满流），而这些边又是割边，所以流量和等于割的容量和。

比如对于：

其一个残留网络为：

其中两条虚线边为满流的边，也是割边。