最小割最大流定理

Posted 2021-11-29 graytido

先来理解几个概念

割

在原先能够流通的网络中移除的边集，使得网络无法流通

最小割

所有的割中边权和最小的割即为最小割

可以想象一下，Kido为了自给自足给自己建了超多供水管道（kido能进行光合作用），形成了一个网络，然后容量越大的管道防护设施越好，但是总有人想渴死Kido就想炸掉管道，但是贫乏的恐怖分子既想渴死kido又想节约成本，那么最节约成本的破坏管道的方案即为最小割

 

 最大流最小割定理

在任何的网络中，最大流的值等于最小割的容量

要证明上面的定理，只要证明下面三个条件是等价的就可以了：

（1）存在一个割的容量等于flow f的值

（2）f是最大流

（3）对于f没有增广路径

首先我们证明（1）->（2）。假设我们有一个割（A,B）的容量等于f的值，那么利用弱对偶的关系，其他流的值<=(A,B)的容量，而由于1的假设，（A，B）的容量等于f的值，因此得到其他流的值都小于f的值，从而（2）成立

 

接着证明（2）->(3)。我们来证明它的逆否命题。对于f如果还有还有增广路径，那f不是最大流，这很显然，如果按照FF算法的话，我们还可以增加flow f的值，因此f就不会是最大流，因此逆否命题成立，也就代表（2）->(3)成立。

 

最后证明从（3）->(1)。让割（A,B）满足这么一个条件：s在A中，且A中的顶点通过一些无向的边连接而成，这些边要么是不是满的前向边要么是非空的反向边。如下图中加粗的边。

那么根据定义，s在A中，由于没有增广路径，因此t在B中。

由于这个割的B到A的边流量全是0，

这个割的容量 = 沿着这个割的netflow(从A到B边的流量-从B到A边的流量)

又根据flow-value引理，netflow = value of low,因此推出（1）.

 

 

 

最后我们怎么根据最大流的解得到最小割的解呢，就是和证明（3）->(1)中的一样让割（A,B）满足这么一个条件：s在A中，且A中的顶点通过一些无向的边连接而成，这些边要么是不是满的前向边要么是非空的反向边

 

最近在看maxflow相关的资料，本文主要介绍下自己对最大流和最小割的理解。最大流本来是网络流方面的算法，后来在计算机视觉中也得到广泛的应用，如图割。我觉得要理解一个算法首先要从起源开始，然后再去泛化问题、建立模型，最后才是解决之。本文是以一个新手的角度去理解算法。 
首先从最简单的开始，先看一幅图： 
 
有3个节点S,a,T，边[S,a]的容量是10，边[a,T]的容量是5，假设从S处要传送数据到T，问最大传送数据量是多少？应该是min(10,5)=5.如果超出5，[a,T]边容不下，因此传不过去，此时的最大流量就是5，[a,T]边就是该图的一条最大流。该图可以想象成从S到T通水，需要修建水管，a是中间站点，S到a修建的水管可以容纳下10单位的水量，a到T可容下5单位的水量，现在有个人不想让S到T通水了，那么他得要切割水管，那么应该切割哪条水管呢？假设切割水管付出的代价和水管容量成正比。显然，他需要切割a到T的水管，而不会切割S到a的水管，此时的割是最小割，容量是5，最大流是5，所以最大流=最小割。当然这个例子太简单，不能说明普遍问题。 
来个稍微复杂的例子： 
 
从S到T，中间经过a,b两节点，问此时的最大流是多少？ 
首先找一条从S到T的路径[S,a,t]，该路径的最大流量是min(2,3)=2，因为[S,a]上面的容量已经被用了，所以路径[S,a,b,t]就行不通了，割去[S,a]后图变成了以下形式： 
 
该图叫做残留网络或者叫残留图，此时再找从S到t的路径[S,b,t]，路径的最大流量是min(3,6)=3.割去[b,t]后，图如下： 
 
此时就不存在从S到t的可行路径了，则结束最大流的查找。此时的最大流是2+3=5，被割的边容量和是2+3=5，即最大流=最小割。 
两个例子我们已经能理解最大流和最小割大体的含义了，也发现最大流的确和最小割是相等的。只从这两个小例子就证明最大流和最小割相等是绝对不严格的，严格的数学证明可google相关资料。回头思考下，最大流到底是什么？如果以送货为例，在可行的情况下，从一个节点到另一个节点所能送达的最大货量即为最大流。打个比方，假设从S处开始放弹珠，让其自动滚到t处，箭头方向为下坡路，在不考虑时间和空间(即把弹珠想象成质点)的情况下，路径中能容纳的最大弹珠量即为最大流量，最小割就是把容纳的弹珠量和容量相同的边都割去，得到的割即为最小割，显然最大流=最小割，因为最大流量完全由路径和容量决定。割去这些边之后，弹珠是没法从S滚落到t的。