最小割最大流定理

Posted 2021-02-09 kgxw0430

定理一：
　　如果f是网络中的一个流，CUT(S,T)是任意一个割，那么f的值等于正向割边的流量与负向割边的流量之差。
证明：
　　设X和Y是网络中的两个顶点集合，用f（X,Y）表示从X中的一个顶点指向Y的一个顶点的所有弧（弧尾在X中，弧头在Y中： ）的流量和。只需证明：f=f(S,T)-f(T,S) 即可。
推论一：
　　如果f是网络中的一个流，CUT(S,T)是一个割，那么f的值不超过割CUT(S,T)的容量。
　　推论二：
　　网络中的最大流不超过任何割的容量。
定理二：
　　在网络中，如果f是一个流，CUT (S,T)是一个割，且f的值等于割CUT(S,T)的容量，那么f是一个最大流， CUT(S,T)是一个最小割。
证明：
　　令割CUT（S,T）的容量为C，所以流f的流量也为C。假设另外的任意流f1，流量为c1，根据流量不超过割的容量，则c1<=c,所以f是最大流。 假设另外的任意割CUT（S1,T1），容量为c1，根据流量不超过割的容量，所以有c1>=c,故，CUT（S,T）是最小割 。