[日常摸鱼]bzoj1001狼抓兔子-最大流最小割

Posted 2020-10-23 yoooshinow

题意就是求最小割…

然后我们有这么一个定理（最大流-最小割定理 ）：

任何一个网络图的最小割中边的容量之和等于图的最大流。

（下面直接简称为最大流和最小割）

证明：

如果最大流>最小割，那把这些割边删去之后依然能找到一条增广路使得源点和汇点联通，和这些边是最小割矛盾。故最大流$\leq$最小割。

而如果最大流<最小割，可是这样通过这些割边还能有更大的流，和最大流矛盾。

综上，最大流=最小割~

然后看看这道题…哇$n\leq 1000$，百万个点百万条边…好吧Dinic其实跑得过…而且还蛮快的…

（我怀疑正解应该是平面图最小割转对偶图最短路？毕竟dinic的理论复杂度好像不太行…）

#include<cstdio>
#define rep(i,a) for(register int i=1;i<=a;++i)
#define debug(x) printf("%s = %d  ",#x,x)
const int N=1000005;
const int M=1000005;
const int INF=(~0u>>1);
struct edge
{
    int to,nxt,w;
    edge(int to=0,int nxt=0,int w=0):to(to),nxt(nxt),w(w){}
}edges[N*10];
int n,m,cnt,st,ed,s,t,ans;
int head[N*10],d[N],q[N];
inline int min(int a,int b){return a<b?a:b;} 
inline void addEdge(int u,int v,int w)
{
    edges[++cnt]=edge(v,head[u],w);head[u]=cnt;
    edges[++cnt]=edge(u,head[v],w);head[v]=cnt;
}
#define cur edges[i].to
inline bool bfs()
{
    rep(i,t)d[i]=0;d[s]=1;
    st=ed=0;q[st++]=s;
    while(ed<st)
    {
        int k=q[ed++];
        for(register int i=head[k];i;i=edges[i].nxt)if(edges[i].w&&!d[cur])
        {
            d[cur]=d[k]+1;q[st++]=cur;
            if(cur==t)return 1;
        }
    }
    return 0;
}
inline int dinic(int x,int f)
{
    if(x==t)return f;
    int res=f;
    for(register int i=head[x];i&&res;i=edges[i].nxt)if(edges[i].w&&d[cur]==d[x]+1)
    {
        int k=dinic(cur,min(res,edges[i].w));
        if(!k)d[cur]=0;
        edges[i].w-=k;edges[i^1].w+=k;res-=k;
    }
    return f-res;
}

#undef cur
inline int get_num(int i,int j)
{
    return (i-1)*m+j;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);cnt=1;s=get_num(1,1);t=get_num(n,m);
    int x;
    rep(i,n)rep(j,m-1){scanf("%d",&x);addEdge(get_num(i,j),get_num(i,j+1),x);}
    rep(i,n-1)rep(j,m){scanf("%d",&x);addEdge(get_num(i,j),get_num(i+1,j),x);}
    rep(i,n-1)rep(j,m-1){scanf("%d",&x);addEdge(get_num(i,j),get_num(i+1,j+1),x);}
    int flow;
    while(bfs())while((flow=dinic(s,INF)))ans+=flow;
    printf("%d",ans); 
    return 0;
}