最小割

Posted 2021-03-13 ryedii-blog

令 (G=(V,E)) 是一个网络，有源点 (s) 和 汇点 (t)。

• 定义一个割 (C=(S,T)) 是 (V) 的一种划分使得 (sin S,tin T)，(C) 的割集 (A) 是集合 ({(u,v)in E:uin S,vin T})，割的大小 (cut=sum_{ein A}f_e)。

• 定义最小割为割的大小最小的割，最小割不唯一。

存在最大流 = 最小割。

以下下标 (_{min}) 表示最小割。

• 定义 (igcup A_{min}) 中的弧称为可行弧，(igcap A_{min}) 中的弧称为必须弧。

任意割集

• 跑最大流，在残量网络上从 (s) 开始 bfs 所能到达的点属于 (S)。

可行弧

• 若残量网络上，不存在有向路径 ((u,v))，则 ((u,v)) 为可行弧。

考虑将 ((u,v)) 割掉，原本的増广路 ((s,u,v,t)) 替换 ((u,v)) 段，仍是可行流。

必须弧

• 若残量网络上，同时存在路径 ((s,u)) 和 ((v,t))，则 ((u,v)) 为必须弧。

先考虑 ((u,v)) 满流，强制此弧不割，若此时最小割的大小变大，则是必须弧。可以将其流量设为 (+infty)，判断是否出现新的増广路。由于新的増广路一定经过 ((u,v))，所以只需要考虑残量网络上是否存在路径 ((s,u)) 和 ((v,t)) 即可。

非满流的弧显然不是必须弧，且一定不满足条件。