51Nod 排列与交换 —— DP

Posted 2021-01-04 zinn

题目：http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1250

看了半天...

把第一问想成逆序对的话似乎很容易想了，新加入一个数，可以往前挪动，增加的逆序对数就是它后面那些数的个数；

所以 f[i][j] = ∑(k = max( 0 , j - i + 1)) f[i-1][k]，用前缀和即可；

第二问正好用第一类斯特林数；

第一类斯特林数 str[i][j] 表示把 i 个数分成 j 个环，环有顺序的方案数，str[i][j] = str[i-1][j-1] (自成一环) + ( i - 1 ) * str[i-1][j] (跟到某个后面)

对应到这道题，原来每个数自己是一个环，表示它就在自己的位置上；

一个有顺序的环，按一个顺序往过数，一个数到下一个数相互交换，就对应了一种交换；

str[i][j] 中，i - j 个数与别的环合并，也就是发生了一次交换，所以答案就是 ∑(n - k <= i <= n ) str[n][i]

注意不要 MLE ...

用滚动数组求斯特林数得注意一点，初值 str[0][0] 不要赋成1，然后后面 i == j 时也求出来即可，感性理解一下的话~

这题...好像也不难啊。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int const maxn=3005,mod=1000000007;
int n,m;
ll f[5][maxn],s[5][maxn],str[5][maxn],ans1,ans2;
void init()
{
//    for(int i=0;i<=1;i++)str[i][i]=1;
    str[1][1]=1;//滚动数组！让初始化符合意义 
    for(int i=2;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)//因为滚动所以 str[i][i]也在这里求 
        {
            int p=(i&1),q=!p;
            str[p][j]=(str[q][j-1]+(i-1)*str[q][j]%mod)%mod;
        }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    init();
    for(int i=0;i<=1;i++)
    {
        f[i][0]=1,s[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=m;j++)s[i][j]+=s[i][j-1];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            int p=(i&1),q=!p;
            if(j-i+1<=0)f[p][j]=s[q][j];
            else f[p][j]=(s[q][j]-s[q][j-i]+mod)%mod;
            if(j)s[p][j]=(s[p][j-1]+f[p][j])%mod;
            else s[p][j]=f[p][j];
        }
    int tmp=m;
    while(tmp>=0)ans1=(ans1+f[n&1][tmp])%mod,tmp-=2;
    for(int i=n-m;i<=n;i++)ans2=(ans2+str[n&1][i])%mod;
    printf("%lld %lld
",ans1,ans2);
    return 0;
}