ZJOI2008骑士（Bzoj1040）——树形DP（基环树）

Posted 2021-01-03 gosick

Description

　　Z国的骑士团是一个很有势力的组织，帮会中汇聚了来自各地的精英。他们劫富济贫，惩恶扬善，受到社会各
界的赞扬。最近发生了一件可怕的事情，邪恶的Y国发动了一场针对Z国的侵略战争。战火绵延五百里，在和平环境
中安逸了数百年的Z国又怎能抵挡的住Y国的军队。于是人们把所有的希望都寄托在了骑士团的身上，就像期待有一
个真龙天子的降生，带领正义打败邪恶。骑士团是肯定具有打败邪恶势力的能力的，但是骑士们互相之间往往有一
些矛盾。每个骑士都有且仅有一个自己最厌恶的骑士（当然不是他自己），他是绝对不会与自己最厌恶的人一同出
征的。战火绵延，人民生灵涂炭，组织起一个骑士军团加入战斗刻不容缓！国王交给了你一个艰巨的任务，从所有
的骑士中选出一个骑士军团，使得军团内没有矛盾的两人（不存在一个骑士与他最痛恨的人一同被选入骑士军团的
情况），并且，使得这支骑士军团最具有战斗力。为了描述战斗力，我们将骑士按照1至N编号，给每名骑士一个战
斗力的估计，一个军团的战斗力为所有骑士的战斗力总和。

Input

　　第一行包含一个正整数N，描述骑士团的人数。接下来N行，每行两个正整数，按顺序描述每一名骑士的战斗力
和他最痛恨的骑士。

Output

　　应包含一行，包含一个整数，表示你所选出的骑士军团的战斗力。

Sample Input

3
10 2
20 3
30 1

Sample Output

30

HINT

N ≤ 1 000 000，每名骑士的战斗力都是不大于 1 000 000的正整数。

Solution

　　好久没写博客了，就来写个这道树形DP的题解吧。

　　题目大意是选出战斗力总和最高的骑士

团，但是每个骑士都有一个他认为长得丑的骑士，于是他们就不能在一起了~~

　　好了不扯了。首先骑士a认为骑士b长得丑，那么选了b就不能选a，同样选了a也不能选b了，也就是说a、b只能选一个，那么就要连无向边而不是有向边了。

　　如果没有环的话，这道题就是一个简单的树形DP，问题是有环。稍加分析就会发现，树上有且只有一个环（这好像是是叫环套树或基环树）。对于有环的问题，一般是断环为链，随便找条环上的边删去即可。那么我们就要考虑删去边后如何保留这条边原来的影响，其实一条边就表示一个限制条件，假设删去边（u，v），可以以u为根但不选u跑一遍DP，再以v为根但不选v跑一遍DP，取两者的的最大值就好啦~ 有人可能会问为什么可以随便找一条环上的边删去，因为我们其实只是把一条边转换为了直接的条件，让有环图转换为了无环图，所以原图的所有性质其实是不变的。

　　还有一个问题，原题没有保证图联通，所以这其实是一个基环树森林（真du liu），所以要把每棵树上的最大值加起来才是最终答案。

　　DP的话用f[x][0]和f[x][1]分别表示x选与不选，很容易得到状态转移方程：

　　　　f[x][0]+=max(f[y][0],f[y][1]);（x不选，则y可选可不选，取两者最大值）

　　　　f[x][1]+=f[y][0];（x选，则y一定不可选）

　　　　其中y∈x的儿子集。

　　找环的话笔者用的是并查集。好了，去吧代码菌：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<utility>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int n,m,sco[N],father[N];
long long ans,t,f[N][2];
pair<int,int> cut[N];
struct Graph{
    struct edge{
        int v,last;
    }e[N<<1];
    int tot,tail[N];        
    inline void add(int x,int y){
        e[++tot]=(edge){y,tail[x]};
        tail[x]=tot;
    }
}G;    
inline int find(int x){return father[x]==x?x:father[x]=find(father[x]);}
inline int read()
{
   int X=0,w=0; char ch=0;
   while(!isdigit(ch)) {w|=ch==‘-‘;ch=getchar();}
   while(isdigit(ch)) X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();
   return w?-X:X;
}
void DP(int x,int fa){
    register int p,y;
    f[x][1]=(long long)sco[x],f[x][0]=0;
    for(p=G.tail[x];p;p=G.e[p].last){
        y=G.e[p].v;
        if(y==fa) continue;　　//防止走重边
        DP(y,x);
        f[x][0]+=max(f[y][0],f[y][1]);
        f[x][1]+=f[y][0];
    }
}
int main()
{
    register int i,y;
    n=read();
    for(i=1;i<=n;++i) father[i]=i;
    for(i=1;i<=n;++i){
        sco[i]=read(),y=read();
        if(find(i)!=find(y))
            G.add(i,y),G.add(y,i),father[father[y]]=father[i];
        else cut[++m].first=i,cut[m].second=y;　　//cut存要删去的边的起点和终点
    }
    for(i=1;i<=m;++i){
        DP(cut[i].first,0);
        t=f[cut[i].first][0];　　//不选起点，因此第二下标只考虑0，下面同理
        DP(cut[i].second,0);　　　
        t=max(t,f[cut[i].second][0]);
        ans+=t;　　//把每棵树上的最大值加起来
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

 

希望能帮到大家，请多多指教.

2018-09-02