$bzoj1040-ZJOI2008$ 骑士 树形$dp$

Posted 2021-11-26 shjrd-dlb

• 题面描述
  • \(Z\)国的骑士团是一个很有势力的组织，帮会中汇聚了来自各地的精英。他们劫富济贫，惩恶扬善，受到社会各界的赞扬。最近发生了一件可怕的事情，邪恶的Y国发动了一场针对\(Z\)国的侵略战争。战火绵延五百里，在和平环境中安逸了数百年的\(Z\)国又怎能抵挡的住\(Y\)国的军队。于是人们把所有的希望都寄托在了骑士团的身上，就像期待有一个真龙天子的降生，带领正义打败邪恶。骑士团是肯定具有打败邪恶势力的能力的，但是骑士们互相之间往往有一些矛盾。每个骑士都有且仅有一个自己最厌恶的骑士（当然不是他自己），他是绝对不会与自己最厌恶的人一同出征的。战火绵延，人民生灵涂炭，组织起一个骑士军团加入战斗刻不容缓！国王交给了你一个艰巨的任务，从所有的骑士中选出一个骑士军团，使得军团内没有矛盾的两人（不存在一个骑士与他最痛恨的人一同被选入骑士军团的情况），并且，使得这支骑士军团最具有战斗力。为了描述战斗力，我们将骑士按照\(1\)至\(N\)编号，给每名骑士一个战斗力的估计，一个军团的战斗力为所有骑士的战斗力总和。
• 输入格式
  • 第一行包含一个正整数\(N\)，描述骑士团的人数。接下来\(N\)行，每行两个正整数，按顺序描述每一名骑士的战斗力和他最痛恨的骑士。
• 输出格式
  • 应包含一行，包含一个整数，表示你所选出的骑士军团的战斗力。
• 题解
  • 注意到，每个骑士都只有一条出边（最讨厌的人），并且整张图边数等于点数，因此这张图是一个基环内向树森林，关于这个建议各位自行画图理解。
  • 并且，我们不难发现，这条有向边\((u,v)\)在表达集合包含关系时是无向的，即若\(u\)入选，\(v\)不能选；若\(v\)入选，\(u\)不能选。进一步，我们只需将基环内向树的任意一条环边断开，做树型\(dp\)即可（具体参考：没有上司的舞会）
  • 这里还有一个基环内向树的性质（虽然我没用，但还是讲一下）。对于任意一棵基环内向树中任意一点沿有向边，必然最终走入环中，也就是我们不需要找环，直接沿有向边走直到走到已访问的点（环上）
  • 不用上面找环的方法，我们也可以用\(dfn\)的方法，将有向边处理为无向边，把它当成树加一条无向边做，向搜索到已搜索的点\(u\)，用该点\(v\)一直暴跳父亲，一直跳到\(u\)，至于if cnt>0, then continue，是因为一张无向基环树会在\(2\)个地方进环，两个都在\(u?\)上，但是是两条完全相反的路径。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN=1e6+6;
const int MAXM=3e6+6;
int edge=1,head[MAXN],tail[MAXM],nex[MAXM];
ll a[MAXN],f[MAXN][2];
int n;
int fa[MAXN],fw[MAXN];
bool use[MAXN];
ll ans=0;
int dfn[MAXN],idx;
struct rec{
    int u,e;
} st[MAXN],lis[MAXN];
int top=0,cnt=0;
void add(int u,int v){
    edge++,nex[edge]=head[u],head[u]=edge,tail[edge]=v;
}
/*void dfs(int u,int p){
    use[u]=1;
//  cout<<u<<" "<<p<<endl;
    for (int e=head[u];e;e=nex[e]){
        int v=tail[e];
        if (v==p) continue;
        if (use[v]&&cnt>0) continue;
        if (use[v]&&cnt==0){
//          cout<<u<<" "<<v<<endl;
            lis[cnt++]=(rec){v,e};
            int las=top;
            while (st[top].u!=v){
//              cout<<st[top].u<<" "<<v<<" "<<top<<" "<<cnt<<endl;
                lis[cnt++]=st[top--];
            }
            top=las;
            continue;
        }
        st[++top]=(rec){v,e};
        dfs(v,u);
        top--;
    }
}*/
void get(int u){
    dfn[u]=++idx;
    for (int e=head[u];e;e=nex[e]){
        int v=tail[e];
        if (v==fa[u]) continue;
        if (dfn[v]){
            if (dfn[v]<dfn[u]) continue;
            lis[cnt++]=(rec){v,fw[v]};
            for (;v!=u;v=fa[v]){
                lis[cnt++]=(rec){v,fw[v]};
            }
        }
        else fa[v]=u,fw[v]=e,get(v);
    }
}
void dp(int u,int p,int lim){
    f[u][0]=0; f[u][1]=a[u];
    for (int e=head[u];e;e=nex[e]){
        int v=tail[e];
        if (e==lim||e==(lim^1)) continue;
        if (v==p) continue;
        dp(v,u,lim);
        f[u][0]+=max(f[v][0],f[v][1]);
        f[u][1]+=f[v][0];
    }
}
ll solve(int x){
    cnt=top=0;
    st[++top]=(rec){x,0};
//  dfs(x,0);
    get(x);
    ll ret=0;
    for (int i=0;i<cnt;i++){
        dp(lis[i].u,0,lis[i].e);
        ret=max(ret,f[lis[i].u][0]);
        dp(tail[lis[i].e^1],0,lis[i].e);
        ret=max(ret,f[tail[lis[i].e^1]][0]);
    }
    return ret;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++){
        int x; scanf("%lld%d",&a[i],&x);
        add(i,x); add(x,i);
    }
//  cout<<"done"<<endl;
    for (int i=1;i<=n;i++){
        if (!use[i]) ans+=solve(i);
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}