P2261 [CQOI2007]余数求和

Posted 2021-01-02 garen-wang

我想是人生第一道分块。。。

这道题看上去很简单，暴力随便打，30分拿到手。但是显然你拿30分你就炸了。

我们开始考虑优化。

发现每一个%都是风马牛不相及的，我们考虑转换。

可以发现取膜的性质：

[a mod b = a - b imes lfloor frac{a}{b} floor]

然后这个答案就可以转换为(sum_{i=1}^{n}{k - i imes lfloor frac{k}{i} floor})

用乘法分配律可以把(k)提取，然后问题就是求出(sum{i imes lfloor frac{k}{i} floor})了。

可以发现这个向下取整的东西在一定区间范围内是一样的，我们可以把这些一样的一起算成一遍，这样复杂度一定小于(O(n))。

代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>

long long n, k, ans;
int main()
{
    scanf("%lld%lld", &n, &k);
    ans = n * k;
    long long left = 1, right;
    while(left <= n)
    {
        long long temp = k / left;
        if(temp) right = std::min(k / temp, n);
        else right = n;
        //for(int i = left; i <= right; i++) ans -= i * temp;
        long long haha = (left + right) * (right - left + 1) / 2;
        ans -= haha * temp;
        left = right + 1;
    }
    printf("%lld
", ans);
    return 0;
}