关于货仓选址问题的方法及证明（在数轴上找一点使得该点到所有其他点的距离之和最小）

Posted 2021-01-01 lltyyc

在数轴上找一点使得该点到所有其他点的距离之和最小

方法：找到大小为中位数的点，该点就是要求的点（如有两个取之间任意一点都行）

证明：

　　先看看当只有2个点时的情况：

　

　　分类讨论：

　　如果在A的左边(如P1)，距离之和(sum)为：dis(P1,A)+dis(P1,B)=dis(P1,A)+dis(P1,A)+dis(A,B)

　　(dis(a,b)为 a 到 b 的距离)

　　如果在A和B的中间（包括A,B）： sum=dis(P2,A)+dis(P2,B)=dis(A,B)

　　如果在右边： sum=dis(P3,A)+dis(P3,B)=dis(A,B)+dis(P3,B)+dis(P3,B)

　　显然在A和B中间时距离之和最小。

　　那对于3个点时呢：

　　设中间的点为C，旁边的为A,B

　　一个点P到各个点的距离之和为： dis(A,P)+dis(B,P)+dis(C,P)=(dis(A,P)+dis(B,P))+dis(C,P)

　　如果在能够满足（dis(A,P)+dis(B,P)）最小的情况下还能满足dis(C,P)最小，那么就一定是最优的方案

　　显然 当P在A,B中间时满足（dis(A,P)+dis(B,P)）最小，

　　又因为 点C在A,B中，所以当点P和点C重合时不仅dis(C,P)=0最小，而且（dis(A,P)+dis(B,P)）最小

　　所以取中间的点C是最优的方案。

　　对于4个点时：

　　同样的思路：

　　设中间的点为C,D，旁边的为A,B

　　如果能满足在A,B中间能找到一个点P使得P到C,D的距离之和最小

　　那么P就是最优方案（因为已经满足P到A,B的距离之和最小了...）

　　由前面可知，当P在C,D中间时P到C,D的距离之和最小，并且因为C,D又在A,B中间

　　所以当P在C,D中间时，P到各点的距离最小。

 

　　那么对于多个点时：

　　首先找到最外面的两个点，点P要在它们之间

　　然后在找次外面的点，点P也要在它们之间

　　......

　　一直找到只剩1或2个点

　　如果只剩一个点，那么最优方案就是P取这个点

　　否则P可以取两个点之间的任意位置

　　这样就可以保证方案最优

　　 即：找到大小为中位数的点（如有两个取之间任意一点都行）

 证明完毕.