寒假每日一题货仓选址（个人练习）详细题解+推导证明（第一天）

Posted 2022-06-04 我是管小亮

文章目录

• 前言
• 题目
• 详细题解
• • • • 写法1 $O(nlogn)$
      • 推导证明
      • 写法2 $O(nlogn)$
      • 推导证明
      • 写法3 $O(n)$
      • 推导证明
• 举一反三
• 总结

前言

突然发现自己好久没有更博客了，就写一个寒假每日一题来坚持坚持把，不是软广，不是硬广，只是个人练习，题目来自《算法竞赛进阶指南》，模板题。

题目

在一条数轴上有 $N$ 家商店，它们的坐标分别为 $A_1$~$A_N$。

现在需要在数轴上建立一家货仓，每天清晨，从货仓到每家商店都要运送一车商品。

为了提高效率，求把货仓建在何处，可以使得货仓到每家商店的距离之和最小。

输入格式

• 第一行输入整数 $N$。
• 第二行 $N$ 个整数 $A_1$~$A_N$。

输出格式

• 输出一个整数，表示距离之和的最小值。

数据范围

• $1\le N\le 100000$
• $0\le A_i\le 40000$

输入样例：
4
6 2 9 1
输出样例：
12

详细题解

写法1 $O(nlogn)$

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MaxN = 1000005;

int N;
int A[MaxN];

int main()

    cin >> N;
    for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> A[i];
    sort(A, A + N);
    
    // 调试
    // for (int i = 0; i < N; ++i) cout << A[i] << " ";
    // cout << endl;
    
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < N; ++i) ans += abs(A[i] - A[N >> 1]);
    cout << ans << endl;
    
    return 0;

通过调试代码，假设输入五个数，计算距离和的最小值，可以发现其实就是中位数到各个位置的距离之和。具体地，首先先对数组进行排序，可以发现是奇数个数，中位数即最中间的数——2，那么距离和即 $|1-2|+|2-2|+|2-2|+|3-2|+|5-2|=5$。

偶数也是一样，$|1-2.5|+|2-2.5|+|3-2.5|+|5-2.5|=5$。

最后提交，AC😁

推导证明

本题用到的最主要的数学知识是 $|x-a|+|x-b|>=|a-b|$，

通过证明可以看到最优解即中位数。

写法2 $O(nlogn)$

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MaxN = 1000005;

int N;
int A[MaxN];

int main()

    cin >> N;
    for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> A[i];
    sort(A, A+N);
    int ans = 0;
    // for (int i = 0; i < N; ++i) ans += abs(A[i] - A[N >> 1]);
    for (int i = 0; i < N; ++i) ans += A[i] - A[i >> 1]; // 改动位置
    cout << ans << endl;
    
    return 0;

最后提交，AC😁

推导证明

解法2与解法1的本质是一样的，同时还能去掉绝对值，因为 $A[i]>=A[i/2]$。

写法3 $O(n)$

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MaxN = 1000005;

int N;
int A[MaxN];

int main()

    cin >> N;
    for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> A[i];
    // sort(A, A+N);
    nth_element(A, A + N/2, A + N); // 改动位置
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < N; ++i) ans += abs(A[i] - A[N >> 1]);
    cout << ans << endl;
    
    return 0;

最后提交，AC😁

推导证明

解法3改进了时间复杂度，从 $O(nlogn)$ 变成了 $O(n)$，相当于去掉了快速排序算法的迭代过程，只是一个随机选择的代码。

下面以一个快排代码为例，整个代码的时间复杂度是 $O(nlogn)$，其中随机选择的时间复杂度是 $O(n)$，递归的时间复杂度是 $O(logn)$。

int partition(vector<int> &data, int start, int end)

    int index = (rand()%(end-start+1))+start;
    swap(data[index], data[start]);
    int pivot = data[start];
    int left=start,right=end;
    while(left!=right)
        while(left<right && data[right]>=pivot)right--;
        while(left<right && data[left]<=pivot)left++;
        if(left<right) swap(data[left], data[right]);
    
    swap(data[left], data[start]);
    return left;

void quicksort(vector<int> &data, int start, int end)
    if(start==end) return;
    if(start<end)
        int index = partition(data,start,end);
        quicksort(data,start,index-1);
        quicksort(data,index+1,end);
    

举一反三

可以从一维空间扩展到多维空间。

总结

继续努力，坚持更新，1st打卡。