$CH0501$ 货仓选址

Posted 2022-05-21 peter0701

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背景

来源暂缺， \(AcWing104/CH0501\)

题意

在一条数轴上有 \(n\) 个点，确定一个位置使得各点到该点的距离之和最小。输出各点到该点的距离之和。

解法

显然，确定的点位置不可能在最左边点的左边或者是最右边点的右边，这两种安排都比最左边点与最右边点之间更劣。
在最左边点与最右边点之间任取一个位置，则它的左边有 \(p\) 个点，右边有 \(q\) 个点。当 \(p < q\) 时，将该点向右移动一个单位，则距离之和减少了 \(q-p\) 个单位；当 \(p > q\) 时，将该点向左移动一个单位，则距离之和减少了 \(p-q\) 个单位。只有 \(p = q\) 时距离之和才能最小。即确定的点处于排序后左边点和右边点一样多的位置（中位数）时距离之和最小。
接下来对于 \(n\) 分奇偶性讨论即可。 \(n\) 为偶数时，确定的点在第 \(\fracn2\) 个点和第 \(\fracn2+1\) 个点之间；而 \(n\) 为偶数时，确定的点在第 \(\fracn+12\) 个点处。

代码

$View$ $Code$

//省略头文件
using namespace std;
inline int read()

    int ret=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch>‘9‘||ch<‘0‘)
    
        if(ch==‘-‘)
            f=-1;
        ch=getchar();
    
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘)
    
        ret=(ret<<1)+(ret<<3)+ch-‘0‘;
        ch=getchar();
    
    return ret*f;

int n,a[100005],pos;
long long ans;
int main()

    n=read();
    for(register int i=1;i<=n;i++)
        a[i]=read();
    sort(a+1,a+n+1);
    if(n&1)
        pos=a[(n+1)>>1];
    else
        pos=a[n>>1];
    for(register int i=1;i<=n;i++)
        ans+=abs(a[i]-pos);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;