欧拉函数知识点总结及代码模板及欧拉函数表

Posted 2020-10-09

欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。 

     欧拉函数的性质：它在整数n上的值等于对n进行素因子分解后，所有的素数幂上的欧拉函数之积。

     欧拉函数的值 　通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等     于1)就是1本身）。 (注意：每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4）

    推论：当n为奇数时，有φ(2n)=φ(n)。

    若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

    设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值，这里函数φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。

    欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。

    特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n), 证明与上述类似。

   算法实现与分析：

   求解欧拉函数的值可用φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn)，容易知道要对n进行素因子分解。

    （1）直接实现

    

 

  int oula(int n)
  {
      int rea=n;
      for(int i=2; i<=n; i++)
          if(n%i==0)//第一次找到的必为素因子
          {
              rea=rea-rea/i;
              do
                  n/=i;//把该素因子全部约掉
             while(n%i==0);
         }
     return rea;
 }

 

 这个函数的复杂度为O（n），如果n达到1000000000，肯定会超时，由于任何一个合数都至少有一个不大于根号n的素因子，所以只需遍历到根号n即可，这样复杂度降为O(√¯n）

    下面是优化代码：

 

  int oula(int n)
  {
      int rea=n;
      for(int i=2; i*i<=n; i++)
          if(n%i==0)//第一次找到的必为素因子
          {
              rea=rea-rea/i;
              do
                  n/=i;//把该素因子全部约掉
             while(n%i==0);
         }
     if(n>1)
         rea=rea-rea/n;
     return rea;
 }

 

（2）素数表实现

    先把50 000以内的素数用筛选法选出来并保存，以方便欧拉函数使用，这样，在不考虑筛选法的时间复杂度，而单纯看欧拉函数，其复杂度为O（x），x为O(√¯n）以内素数的个数。

  bool boo[50000];
  int p[20000];
  void prim()
  {
      memset(boo,0,sizeof(boo));
      boo[0]=boo[1]=1;
      int k=0;
      for(int i=2; i<50000; i++)
      {
         if(!boo[i])
             p[k++]=i;
         for(int j=0; j<k&&i*p[j]<50000; j++)
         {
             boo[i*p[j]=1;
                 if(!(i%p[j]))
                 break;
         }
 }
 }//筛选法打表
 int phi(int n)
 {
     int rea=n;
     for(int i=0; p[i]*p[i]<=n; i++)//对于一些不是素数的可不遍历
         if(n%p[i]==0)
         {
             rea=rea-rea/n;
             do
                 n/=p[i];
             while(n%p[i]==0);
         }
     if(n>1)
         rea=rea-rea/n;
     return rea;
 }

 

    （3）递推求欧拉函数

     如果频繁的使用欧拉函数值，就需要预先打表，下面介绍递推求欧拉公式的方法。

    可预先之所有数的欧拉函数值都为她本身，有定理可知，如果p是一个正整数且满足φ（p）=p-1;那么p是素数，在遍历过程中如果遇到欧拉函数与自身相等的情况。那么说明该数为素数，把这个数的欧拉函数值改变，同时也把能被素因子整除的数改变。

    

 

  for(i=1; i<=maxn; i++)
      p[i]=i;
  for(i=2; i<=maxn; i+=2)
      p[i]/=2;
  for(i=3; i<=maxn; i+=2)
      if(p[i]==i)
      {
          for(j=i; j<=maxn; j+=i)
              p[j]=p[j]/i*(i-1);
     }

 

噶呜~附上欧拉函数表：

2-100欧拉函数表

n φ(n)

2 1

3 2

4 2

5 4

6 2

7 6

8 4

9 6

10 4

11 10

12 4

13 12

14 6

15 8

16 8

17 16

18 6

19 18

20 8

21 12

22 10

23 22

24 8

25 20

26 12

27 18

28 12

29 28

30 8

31 30

32 16

33 20

34 16

35 24

36 12

37 36

38 18

39 24

40 16

41 40

42 12

43 42

44 20

45 24

46 22

47 46

48 16

49 42

50 20

51 32

52 24

53 52

54 18

55 40

56 24

57 36

58 28

59 58

60 16

61 60

62 30

63 36

64 32

65 48

66 20

67 66

68 32

69 44

70 24

71 70

72 24

73 72

74 36

75 40

76 36

77 60

78 24

79 78

80 32

81 54

82 40

83 82

84 24

85 64

86 42

87 56

88 40

89 88

90 24

91 72

92 44

93 60

94 46

95 72

96 32

97 96

98 42

99 60

100 40