数论Sumdiv(整数的唯一分解定理+约束和公式+递归求等比)
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了数论Sumdiv(整数的唯一分解定理+约束和公式+递归求等比)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
来源:https://blog.csdn.net/lyy289065406/article/details/6648539
题目描述
输入
输出
样例输入
2 3
样例输出
15
提示
2^3 = 8.
The natural divisors of 8 are: 1,2,4,8. Their sum is 15.
15 modulo 9901 is 15 (that should be output).
题意:求A^B的所有约数之和。
主要使用的定理:
1.整数的唯一分解定理
任意正整数都有且只有一种方式写出其素因子的乘积表达式。
A=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*....*(pn^kn) 其中pi均为素数
2.约束和公式
若已知整数a=(p1^k1)*(p2^k2)……*(pn^kn)
有sum=(1+p1+p1^2+……+p1^k1)*(1+p2+p2^2+……+p2^k2)*……*(1+pn+pn^2+……+pn^kn)
3.同余模公式
(a+b)%m=(a%m+b%m)%m
(a*b)%m=(a%m*b%m)%m
解法:
1.素因子分解
A首先对第一个素数2不断取模,A%2==0时 ,记录2出现的次数+1,A/=2;
当A%2!=0时,则A对下一个连续素数3不断取模...
以此类推,直到A==1为止。
注意特殊判定,当A本身就是素数时,无法分解,它自己就是其本身的素数分解式。
2.求a^b的所有约数之和
用递归二分求等比数列1+pi+pi^2+pi^3+...+pi^n:
(1)若n为奇数,一共有偶数项,则:
1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n
= (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2) * (1+p^(n/2+1))
= (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2)) * (1 + p^(n/2+1))
上式红色加粗的前半部分恰好就是原式的一半,那么只需要不断递归二分求和就可以了,后半部分为幂次式,将在下面第4点讲述计算方 法。
(2)若n为偶数,一共有奇数项,则:
1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n
= (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2-1) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2)
= (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2-1)) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2);
上式红色加粗的前半部分恰好就是原式的一半,依然递归求解
#include <bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std; const int N=10000; const int mod=9901; int a,b,p[N],n[N]; ll qm(ll a,ll b) { ll ret=1; while(b) { if(b&1) ret=ret*a%mod; a=a*a%mod; b>>=1; } return ret; } ll sum(ll p,ll n) { if(n==0) return 1; if(n%2) return (sum(p,n/2)*(1+qm(p,n/2+1)))%mod; else return (sum(p,n/2-1)*(1+qm(p,n/2+1))+qm(p,n/2))%mod; } int main() { cin>>a>>b; int k=0; for(int i=2;i*i<=a;) { if(a%i==0) { p[k]=i; n[k]=0; while(a%i==0) { n[k]++; a/=i; } k++; } if(i==2) i++; else i+=2; } if(a!=1) { p[k]=a; n[k++]=1; } int ans=1; for(int i=0;i<k;i++) ans=(ans*(sum(p[i],n[i]*b)%mod))%mod; cout<<ans<<endl; return 0; }
以上是关于数论Sumdiv(整数的唯一分解定理+约束和公式+递归求等比)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章
POJ1845Sumdiv(求所有因子和 + 唯一分解定理)
POJ - 1845 G - Sumdiv (唯一分解定理)