取火柴游戏||Nim博弈

Posted 2020-12-27 lance1ot

好久之前看的sg函数了

好像就记住一个nim博弈qwq

第一次啊看的时候很迷，现在感觉可以了qwq

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首先我们来看一个其他的游戏。（以下游戏只有两个人参与，且足够聪明）

两个人在一张圆形的桌子上放等大的盘子，最后一个无法放盘子的人输掉比赛

很显然，先手必胜。

为什么？ 第一个人可以将盘子放在桌子的中心。

然后只要第二个人可以放置盘子，我们就在其中心对称的位置上放盘子。

如此，只要后手可以放，我先手就一定能放

可以看出，有时候如果处于先手必胜的状态时，模仿对手的策略不妨是个好方法。这可以保证如果游戏可以进行下去的话，先手就一定能进行下去。

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我们再来看一个更nim游戏的弱化版

有两个火柴堆，每堆的火柴数不一定相同，每次一个人只能从一堆中选取若干个火柴并取走。没有火柴可取的人输

好像这和上个题没有什么关系qwq

我们假设两个火柴堆的数目都相同。那么肯定是先手必输

为什么？因为后手总可以从另一堆中取的和先手上一次取得一样的火柴。

只要先手可以取，后手就可以取。

所有该游戏的判定条件是，若两堆相等，先手必输，否则，先手必胜，先手总可以将两堆取成一样多

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先手必胜时总有一种策略可以转移到后手必败
后手必败总是会转移到先手必胜

好像大佬如此说过

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然后我们看van♂整版nim

P1247 取火柴游戏

先说结论，若所有火柴堆异或起来的值为0的话，先手必败，否则先手必胜

啥？mengbi qwq

(?｀⊿′)?为什么和异或结合起来的啊喂

这是得益于毒瘤的二进制和更毒瘤的异或

异或有一个特殊的规律，就是一堆数异或时，若在同一个二进制位上1的个数是偶数，那么这一位异或起来以后是0，否则为1

二进制的话就是可以使用0/1表示所有数字

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我们来看上一个游戏，我们将这两堆的剩余的火柴数转变成二进制。

发现我们先手取走一个数，就是改变其二进制为上的1的个数（只考虑奇偶性），而后手再去取的话就是将其奇偶性再变回来

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然后我们再回去看为什么异或和是0时先手必输，因为先手拿走了某些火柴时，我们可以根据其拿走火柴的二进制表示，在其他一堆中拿走一些一些数字，使得其异或和重新为0；

怎么搞呢？ 我们可以拿走一些数，也就是减某一个数，使得先手拿完后，（啰嗦警告）

所有堆中的每个二进制上的一的个数的和，我们总可以通过加减一个数，达到在某一个二进制位的1的个数进行加一or减一的效果

使得某一位二进制上的1的个数变为偶数。

从而使得游戏又恢复到了一开始的局面

end......

sg函数好像也是这个思想qwq

此题代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using std::sort;
const int maxn=501000;
int data[maxn];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int x=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&data[i]);
        x^=data[i];
    }
    if(x==0)
    {
        printf("lose");
        return 0;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if((data[i]^x)<=data[i])
        {
            printf("%d %d
",data[i]-(data[i]^x),i);
            data[i]^=x;
            break;
        }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        printf("%d ",data[i]);
}