hdu1573 X问题中国剩余定理
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<题目链接>
X问题
Problem Description
求在小于等于N的正整数中有多少个X满足:X mod a[0] = b[0], X mod a[1] = b[1], X mod a[2] = b[2], …, X mod a[i] = b[i], … (0 < a[i] <= 10)。
Input
输入数据的第一行为一个正整数T,表示有T组测试数据。每组测试数据的第一行为两个正整数N,M (0 < N <= 1000,000,000 , 0 < M <= 10),表示X小于等于N,数组a和b中各有M个元素。接下来两行,每行各有M个正整数,分别为a和b中的元素。
Output
对应每一组输入,在独立一行中输出一个正整数,表示满足条件的X的个数。
Sample Input
3
10 3
1 2 3
0 1 2
100 7
3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7
10000 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Sample Output
1
0
3
解题分析:
看到题目的描述很容易想到中国剩余定理。利用模板求出最小解,如果最小解大于n或者无最小解(此模板返回-1),则无解否则输出(n-ans)/dg+1(dg为a[i]的最小公倍数,ans为最小解)(根据ans+num*dg<=n推出的),所有满足dg*i+ans的都符合要求,ans为最小的满足的数。 需要注意的是,由于题目没有说除数是互质的,所以不能用普通的中国剩余定理的模板。
#include<stdio.h> using namespace std; #define ll long long ll A[11],B[11];//B[i]为余数 ll dg,ans;//dg为A[i]的最小公倍数 ans 为最小解 void exgcd(ll a, ll b, ll &d, ll&x, ll &y) { if (!b) {d=a; x=1; y=0;} else { exgcd(b, a%b, d, y, x); y-=x*(a/b); } } ll gcd(ll a, ll b) { if (!b) return a; else gcd(b, a%b); } ll china(ll n) { ll a,b,d,x,y,dm; ll c,c1,c2; a=A[0]; c1=B[0]; for (int i=1; i<n; i++) { b=A[i]; c2=B[i]; exgcd(a, b, d, x, y); dm=b/d; c=c2-c1; if (c%d) return -1; x=((x*c/d)%dm+dm)%dm;//x可能为负 c1=a*x+c1; a=a*b/d; } //求最小公倍数 dg=a;//dg是最大公约数 if (!c1)//考虑c1为0的情况 { c1=1; for (int i=0; i<n; i++) { c1=c1*A[i]/gcd(c1, A[i]); } dg=c1;//此时dg为最小公倍数 } return c1;//c1为最小的X } int main(){ int t; scanf("%d",&t); while(t--){ int n,m; scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=0;i<m;i++) scanf("%lld",&A[i]); for(int i=0;i<m;i++) scanf("%lld",&B[i]); ans=china(m); //利用模板找到满足条件的最小值 if(ans==-1||ans>n) printf("0 "); else printf("%d ",(n-ans)/dg+1); } return 0; }
2018-07-31
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