bzoj4004JLOI2015装备购买 （线性基+高斯消元）

Posted 2020-12-26 ezoilzh

Description

脸哥最近在玩一款神奇的游戏，这个游戏里有 n 件装备，每件装备有 m 个属性，用向量zi(aj ,.....,am) 表示 (1 <= i <= n; 1 <= j <= m)，每个装备需要花费 ci，现在脸哥想买一些装备，但是脸哥很穷，所以总是盘算着怎样才能花尽量少的钱买尽量多的装备。对于脸哥来说，如果一件装备的属性能用购买的其他装备组合出（也就是说脸哥可以利用手上的这些装备组合出这件装备的效果），那么这件装备就没有买的必要了。严格的定义是，如果脸哥买了 zi1,.....zip这 p 件装备，那么对于任意待决定的 zh，不存在 b1,....,bp 使得 b1zi1 + ... + bpzip = zh（b 是实数），那么脸哥就会买 zh，否则 zh 对脸哥就是无用的了，自然不必购买。举个例子,z1 =(1; 2; 3);z2 =(3; 4; 5);zh =(2; 3; 4)，b1 =1/2，b2 =1/2，就有 b1z1 + b2z2 = zh，那么如果脸哥买了 z1 和 z2 就不会再买 zh 了。脸哥想要在买下最多数量的装备的情况下花最少的钱，你能帮他算一下吗？

Input

第一行两个数 n;m。接下来 n 行，每行 m 个数，其中第 i 行描述装备 i 的各项属性值。接下来一行 n 个数，

其中 ci 表示购买第 i 件装备的花费。

Output

一行两个数，第一个数表示能够购买的最多装备数量，第二个数表示在购买最多数量的装备的情况下的最小花费

 

 题解：

这乍一看，似乎没有什么规律，但是，仔细一想，这题跟线性基有点像。

普通的异或线性基是将十进制数转为二进制，将 01 串作为向量，加入线性基，这道题将一个十进制的向量插入线性基。

我们可以用高斯消元消去最高位替代异或，如下：

1 bool insert(Vector x){
2     for(int i=m;i>=1;i--){
3         if(fabs(x.v[i])<eps)continue;
4         if(a[i].empty()){a[i]=x;return true;}
5         double k=x.v[i]/a[i].v[i];
6         for(int j=1;j<=m;j++)x.v[j]-=a[i].v[j]*k;
7         if(x.empty())return false;
8     }
9 }

 

这同样满足线性基的性质，（感性理解）

COMPLETE  CODE：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cmath>
 5 #include<cstring>
 6 using namespace std;
 7 
 8 #define eps 1e-5
 9 int n,m,x,sum,ans;
10 struct Vector{
11     double v[505];
12     int c;
13     bool operator<(const Vector &b)const{
14         return c<b.c;
15     }
16     bool empty(){
17         for(int i=1;i<=m;i++)
18             if(fabs(v[i])>=eps)return false;
19         return true;
20     }
21 }a[505];
22 struct LB{
23     Vector a[505];
24     bool insert(Vector x){
25         for(int i=m;i>=1;i--){
26             if(fabs(x.v[i])<eps)continue;
27             if(a[i].empty()){a[i]=x;return true;}
28             double k=x.v[i]/a[i].v[i];
29             for(int j=1;j<=m;j++)x.v[j]-=a[i].v[j]*k;
30             if(x.empty())return false;
31         }
32     }
33 }lb;
34 
35 int main(){
36     scanf("%d%d",&n,&m);
37     for(int i=1;i<=n;i++)
38     for(int j=1;j<=m;j++)scanf("%d",&x),a[i].v[j]=x;
39     for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i].c);
40     sort(a+1,a+n+1);
41     for(int i=1;i<=n;i++)
42         if(lb.insert(a[i]))sum++,ans+=a[i].c;
43     printf("%d %d",sum,ans);
44 }

 

注意！！ 这题卡精度！！