平面分割

Posted 2020-12-25 roni-i

描述
说起佐罗，大家首先想到的除了他脸上的面具，恐怕还有他每次刻下的“Z”字。我们知道，一个“Z”可以把平面分为2部分，两个“Z”可以把平面分为12部分，那么，现在的问题是：如果平面上有n个“Z”,平面最多可以分割为几部分呢？
说明1：“Z”的两端应看成射线；
说明2：“Z”的两条射线规定为平行的。
输入
输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C 行数据，每行包含一个整数n(0<n<=10000),表示“Z”字的数量。
输出
对于每个测试实例，请输出平面的最大分割数，每个实例的输出占一行。
样例输入
2
1
2
样例输出
2
12

此类题有一固定做法——【解方程】

对于二维空间来说：f(x)=ax^2+bx+c;

对于三维空间：f(x)=ax^3+bx^2+cx+d;

此题中，显然是二维的，只需求n=3时的情况，然后带入可得；

n=3时，要求最多的，先看一条线段，当其中一条线与最多线相交时，即与六条线相交时；为31种。

然后解方程组即可得到a,b,c的值；方程可得，程序自然就出来了。

——【递推】
每一组平行线相交后，就会较少一个面，
首先考虑一个类似的问题：

有N组直线，每组都由3条平行的直线构成，3条直线的间距可以调整。

那么N组直线最多划分出多少个区域？

这个问题就很容易求出来，3n（3n-1）/2+1

本题的答案，就是把每组3条平行直线变成Z，也就是在3n（3n-1）/2+1的基础上再减2n即可

典型的递推题 
    设f(n)表示n个z字型折线至多平面划分数。 
    现在增加一条边a，和3n条线都相交，增加3n+1个区域。 
    再增加一条边b，与a平行，同样增加3n+1个区域。 
    最后增加一条边c，与已有的边都相交，增加3n+3个区域。又因为要与a，b形成锯齿形，所以又减去2*2个区域 
    所以得出递推式 f(n)=f(n-1)+9*(n-1)+1 
 
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自己的思路
第条线都要与之前所有的线相交 所以之前有3(n-1)条线 因此会出现3*3(n-1)个线段
每个线段都会有一个新平面 又增加两条射线 所以为9(n-1)+2 但是折线相邻的线段只
能增加一个面 9(n-1)+2-1