平面分割

Posted 2020-10-21 Zhoier

题目：有n条直线互相相交，其中共有p（p>=2）个交点，求能分割出的平面的个数。

一看这题，是怎样推出是一个递推式的呢？

首先考虑每一条直线，他们相交共有两种情况：一种是全都相交于一点，另一种是不相交于一点。

那好，先来分析相交于一点的情况：

一条直线把平面分割成两个。

两条直线把平面分割成四个。

三条直线把平面分成六个；

四条直线把平面分成八个

……

n条直线把平面分成2*n个。

这样若干条直线相交于一点的情况就能推出来一个式子了。

接着再来考虑另一种情况，就是他们不是相交于一点的：

我们不妨也来以每一条直线为基本单位来推，假设p=3，那么从第四条直线开始思考：

第四条直线在原来的六个平面上又加了四个平面，2*3+4=10

再假设p=4，从第五条直线开始思考：

第五条在原来的八个平面上加了五个平面 2*4+5=13

所以能找出规律：p+1条直线添加了p+1个平面，要考虑一般情况，还得再考虑p+2，p+3……p+n这些直线。

还是上面的p=4的图，当添加第六条直线时：

平面的个数又加了六个，则可以推出第七条加了七个，第n条加了n个。

所以综合以上几种情况，可以得出递推式为2*p+（n+p+1）*（n-p）/2，这一个式子就可以把所有式子全部包含了，代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,p;
int main()
{
  scanf("%d%d",&n,&p);
  printf("%d",2*p+(n+p+1)*(n-p)/2);
  return 0;
}

这是一道运用分类讨论思想的递推题，只要把每种情况的式子列好，那么整合两种情况就可以解决。