[ZJOI2007] 仓库建设

Posted 2020-12-24 qixingzhi

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题意：有n个地点，每个地点有货物P[i]个，距离起点（地点0）的距离为x[i]。在每个地点建立仓库需要费用c[i]，现在需要在某些地点建设仓库，从而将货物转移到仓库里。规定只能从编号小的地点转移到编号大的地点，同时转移的费用的是路程*货物数量。求最小的总费用（总费用=建设费用+转移费用）

解题思路：

　　动态规划+斜率优化

　　令$f[i]$表示在地点i建设仓库，并且1~i的货物都已经全部处理好了。可以得到$O(n^2)$的状态转移方程$$f[i] = Min{f[j] + sumlimits_{k=1}^{i-1}(x[i]-x[k])*p[k] + c[i]}$$

　　维护前缀和P[i]为数组p的前缀和，g[i]为x[i]*p[i]的前缀和。得到$$f[i] = f[j] + (P[i-1]-P[j])*x[i] - (g[i-1]-g[j]) + c[i]$$

转化为一次函数形式$$f[j]+P[i-1]*x[i]-g[i-1]+g[j]+c[i] = x[i] * P[j] + f[i]            Longleftrightarrow           y = kx + b$$

去掉没用的项，得$$f[j]+g[j] = x[i] * P[j] + f[i]$$

　　坐标为$(P[j], f[j]+g[j])$

　　正常做就行了

　　这题主要难在f[i]的构想上，斜率优化这一步并没有什么坑点

Code

　　long long

/*By QiXingzhi*/
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define  r  read()
#define  Max(a,b)  (((a)>(b)) ? (a) : (b))
#define  Min(a,b)  (((a)<(b)) ? (a) : (b))
using namespace std;
typedef long long ll;
#define int long long
const int MAXN = 1000010;
const int INF = 1061109567;
inline int read(){
    int x = 0; int w = 1; register int c = getchar();
    while(c ^ ‘-‘ && (c < ‘0‘ || c > ‘9‘)) c = getchar();
    if(c == ‘-‘) w = -1, c = getchar();
    while(c >= ‘0‘ && c <= ‘9‘) x = (x << 3) +(x << 1) + c - ‘0‘, c = getchar();
    return x * w;
}
int n,m,h,t;
int x[MAXN],p[MAXN],c[MAXN],g[MAXN],P[MAXN],q[MAXN],f[MAXN];
inline double X(int i){ return P[i]; }
inline double Y(int i){ return f[i] + g[i]; }
inline double Slope(int i, int j){ return (double)(Y(i)-Y(j)) / (double)(X(i)-X(j)); }
main(){
//    freopen(".in","r",stdin);
    n = r;
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        x[i] = r, p[i] = r, c[i] = r;
        P[i] = P[i-1] + p[i];
        g[i] = g[i-1] + x[i] * p[i];
    }
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        while(h<t && Slope(q[h],q[h+1]) < x[i]) ++h;
        f[i] = f[q[h]] + (P[i-1]-P[q[h]])*x[i] - g[i-1] + g[q[h]] + c[i];
        while(h<t && Slope(q[t-1],q[t]) > Slope(q[t],i)) --t;
        q[++t] = i;
    }
    printf("%lld", f[n]);
    return 0;
}