[bzoj 1096] [ZJOI2007]仓库建设

Posted 2020-10-10

[bzoj 1096] [ZJOI2007]仓库建设

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Description

　　L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内
陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象
部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于
地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库
的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设
置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，
假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到
以下数据：1：工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;2：工厂i目前已有成品数量Pi;:3：在工厂i建立仓库的费用
Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

　　第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

　　仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

32

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。 

 

继续斜率优化DP。

感觉很好啊~~~

轻松写出转移方程：fi=min{fj+ci+sigma(k=j+1,i)pk*(xi-xk)}(j<i)

设s1i=sigma(j=1,i)pj,s2i=sigma(j=1,i)pj*xj

展开得到fi=fj+ci+s1ixi-s1jxi-s2i+s2j

设k<j且fj优于fk，则有xi>((fj+s2j)-(fk+s2k))/(s1j-s1k)。

然后可以稍微简化一下原式，方便观察分类——

设Ci=ci+s1ixi-s2i，Di=s2i

fi=fj+Ci+Dj-xis1j，这样就方便了处理。

code：（假装是已经掌握了一类斜率DP的真谛）

 1 %:pragma GCC optimize(2)
 2 #include<bits/stdc++.h>
 3 #define sqr(x) ((x)*(x))
 4 #define LL long long
 5 using namespace std;
 6 const int N=1000005;
 7 const double inf=1e18;
 8 int n,k,l,r; LL X[N],P[N],C[N],s1[N],s2[N],f[N];
 9 struct point {
10     LL x,y;
11     point() {}
12     point(LL _x,LL _y):x(_x),y(_y) {}
13 }st[N];
14 int read() {
15     int x=0,f=1; char ch=getchar();
16     while (ch<‘0‘||ch>‘9‘) f=(ch==‘-‘)?-1:1,ch=getchar();
17     while (ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘) x=x*10+ch-‘0‘,ch=getchar();
18     return x*f;
19 }
20 double slope(point u,point v) {
21     return u.x==v.x?(u.y<v.y?inf:-inf):1.0*(v.y-u.y)/(v.x-u.x);
22 }
23 LL get(LL k) {
24     while (l<r&&slope(st[l],st[l+1])<1.0*k) l++;
25     return st[l].y-k*st[l].x;
26 }
27 void insert(point cur) {
28     while (l<r&&slope(st[r-1],st[r])>slope(st[r-1],cur)) r--;
29     st[++r]=cur;
30 }
31 int main() {
32     n=read(),s1[0]=s2[0]=0;
33     for (int i=1; i<=n; i++) X[i]=read(),P[i]=read(),C[i]=read();
34     for (int i=1; i<=n; i++) s1[i]=s1[i-1]+P[i],C[i]+=s1[i]*X[i];
35     for (int i=1; i<=n; i++) s2[i]=s2[i-1]+P[i]*X[i],C[i]-=s2[i];
36     l=1,r=0,st[++r]=point(0,0);
37     for (int i=1; i<=n; i++) {
38         f[i]=get(X[i])+C[i];
39         insert(point(s1[i],f[i]+s2[i]));
40     }
41     printf("%lld\n",f[n]);
42     return 0;
43 }

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