概率图模型（贝叶斯网络）

Posted 2020-12-24 qiu-hua

概率图模型（PGM）是一种对现实情况进行描述的模型。其核心是条件概率，本质上是利用先验知识，确立一个随机变量之间的关联约束关系，最终达成方便求取条件概率的目的。

1.从现象出发---这个世界都是随机变量

　　这个世界都是随机变量。

　　第一，世界是未知的，是有多种可能性的。

　　第二，世界上一切都是相互联系的。

　　第三，随机变量是一种映射，把观测到的样本映射成数值的过程叫做随机变量。

　　上述三条原则给了我们以量化描述世界的手段，我们可以借此把一个抽象的问题变成一个数学问题。并且借助数学手段，发现问题，解决问题。世界上一切都是未知的，都是随机变量。明天会有多少婴儿降生武汉是随机变量，明天出生婴儿的基因也是随机变量，这些孩子智商高低是随机变量，高考分数是随机变量，月薪几何是随机变量。但是这些随机变量之间完全无关么？男孩，智商高，高考低分，月薪高的概率又有多少？显然，随机变量每增多一个，样本空间就会以指数形式爆表上涨。我们要如何快速的计算一组给定随机变量观察值的概率呢？概率图给出了答案。

　　

2.概率图---自带智能的模型

　　其实在看CRF的时候我就常常在想，基于CRF的词性分割使用了词相邻的信息；基于边缘检测的图像处理使用了像素的相邻信息；相邻信息够么？仅仅考虑相邻像素所带来的信息足够将一个观察（句子或图像）恢复出其本意么？没错，最丰富的关系一定处于相邻信息中，比如图像的边缘对分割的共线绝对不可磨灭，HMM词性分割也效果不错.......但是如果把不相邻的信息引入判断会怎样？在我苦思冥想如何引入不相邻信息的时候Deep Learning 和 CNN凭空出现，不得不承认设计这套东西的人极度聪明，利用下采样建立较远像素的联系，利用卷积将之前产生的效果累加到目前时刻上（卷积的本质是堆砌+变质）。这样就把不相邻的信息给使用上了。但是这样是不是唯一的方法呢？显然不是，还有一种不那么自动，却 not intractable方法，叫做PGM。

　　还是从快速计算条件概率来谈PGM。首先是representation，概率图的表达是一张。。。图。。。图当然会有节点，会有边。节点则为随机变量（一切都是随机变量），边则为依赖关系（现在只谈有向图）。一张典型的概率图——贝叶斯网络如下所示：

2.1 相关性

　　对于一副给定的图，每个节点都代表一个随机变量，节点与节点之间通过箭头相连。似乎这在节点与节点之间形成了“流”。那么节点的流之间是否会和随机变量的相关性产生联系？答案是肯定的。考虑几种典型的流：

　　显然直观的看来，如果x与y直接相连，那么x,y必然是相关的，给出了x的信息则会影响我们对y的判断。当x与y间接相连时，若x,y呈链状关系，那么影响肯定会传递下去，如果x,y不呈链状关系，有共同原因时，则相关；共同发生作用时，则不相关。

　　这里称             x->W<-y       为 V 结构。

　　一般情况下，相关性的传递是无法通过V结构的。

　　但是如果是条件概率的情况下，相关性的传递则表现出完全不同的性质。W 是观测值，如果节点中有随机变量被观测了，那么相关性的连接则会全部取反。也就是说，原本通过W相关的两个变量，在W被观测的情况下，相关性被分离了。也叫做d-separated.记作：d-sepG(X, Y | Z)

　　上图中，当且仅当，G被观测且没有其他变化的情况下，S会与D相关。

2.2 因式分解

　　由上述分析可知，当给定某些观测时，原本相关的随机变量可以被分离。

　　由此我们得出以下定理：

　　考虑P(D,I,G,L,S)应该怎么计算？如果没有任何先验信息，那么应该是按照条件概率公式：

　　P(D,I,G,L,S) = P(D)*P(I|D)*P(G|I,D)*P(L|I,D,G)*P(S|D,I,G,L);

　　上式的最后一项，光是对于P(S|D,I,G,L)就需要考虑DIGL所有的可能，并且每增加一个随机变量，计算的复杂程度就会上升一个档次。使用贝叶斯链式法则，那么上式就可以简化成以下形式：

　

　　从概率图的角度上来讲，其表达了在给定父节点的情况下，任意一个节点都是与其非子节点，都是d分离的。

　　从概率的角度上来讲，任意一个随机变量，在给定父随机变量的情况下，和其非子随机变量，都是d分离的。

　　

　　

　　或者再通俗一点，一个聪明人，在一场很难的考试里拿了高分，却得到了一封很烂的推荐信，同时他SAT考试却是高分的概率是多少？

　　我们再隐藏一些细节，一个人推荐信很烂，他SAT高分的概率是多少？或者，一个人SAT低分，却手握牛推的概率是多少？

　　如果不考虑随机变量之间的依赖关系，上述内容是很难计算的。但是如果有一个构建好的概率图，上面的问题则可以转化为条件概率问题。

　　通过观察实验，我们可以得到一系列的条件概率，通过此条件概率，以及贝叶斯条件概率链式法则，则可求的我们想要的那一组随机变量的概率。

　　OK，玩具例子结束了，接下来我们来一点真的。如何通过某人血型(A B AB O)及其父母血型推测其基因型(AAAO AB BB BO ....)，首先，我们可以建立一张概率图，所有的血型B，基因型G，都是随机变量(节点）。